《3.1.1 特征值与特征向量》教案3

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1、《3.1.1特征值与特征向量》教案3教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义。2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量。教学重点掌握矩阵的特征值和特征向量的求法.教学难点矩阵特征向量的求法.教学过程引例：根据下列条件试判断M是否与共线：⑴M=，非零向量=⑵M=，非零向量=解：⑴M===3，所以M与共线。⑵M==，而与不共线。即此时M与不共线。探究：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？例1对于x轴的反射变换：=，从几何直观上可以发现，只有x轴

2、和平行于y轴的直线在反射变换的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射变换只把形如的向量（其中是任意常数），分别变成与自身共线的向量。可以发现反射变换分别把向量变成。特别地，反射变换把向量变成，把向量变成。用矩阵的形式可表示为，.例2对于伸缩变换：=，从几何直观上可以发现，只有x轴和平行于y轴的直线在伸缩变换的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，伸缩变换只把形如的向量（其中是任意常数），分别变成与自身共线的向量。可以发现伸缩变换分别把向量变成。特别地，伸缩变换把向量变成，把向量变成2。用矩阵的形式可表示为，.通过上面的例子

3、我们看到，在一个线性变换的作用下，平面内的确有一些向量具有“不变性”——变成了与自身共线的向量。如果这些向量是非零向量，我们称之为该线性变换的特征向量。一、特征值与特征向量定义：设二阶矩阵A=，如果存在数存及非零向量，使得，那么称为A的一个特征值，而为A的属于特征值的一个特征向量。注：1.特征向量都是非零向量；2.特征值与特征向量是相伴出现的。在例1中，矩阵A分别属于特征值的特征向量都有无穷多个。一般地，设为矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对于任意的非零常数k，也是矩阵A的属于特征值的特征向量。一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线

4、。例3试从几何直观上，利用线性变换求矩阵A=的特征值与特征向量。二、特征值与特征向量的计算设数和非零向量，满足，由此得.如果是矩阵A的特征向量，则是上述方程组的一个解，反之，若是上述方程组的一个解，则是矩阵A的一个特征向量。而该方程组有非零解的充要条件是她的系数行列式=0，记，则。解此方程，求得的值，代入方程组求得相应的y的值，便可得到属于该特征值的一个特征向量。为矩阵A的特征多项式。0称为为矩阵A的特征方程。例4求矩阵M=的特征值和特征向量：解：矩阵M的特征值满足方程=(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0解得，矩阵M的两个特征值

5、1=4，2=-2⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0即：(4+1)x+(-2)y=0也就是5x-2y=0,则可取为属于特征值1=4的一个特征向量。⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0即：(-2+1)x+(-2)y=0也就是x+2y=0则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量。综上所述：M=有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。小结：1.特征值与特征向量的概念；2特征值与特征向量的求法。