《3.1.1 特征值与特征向量》习题2

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1、《3.1.1特征值与特征向量》习题21．求矩阵M＝的特征值和特征向量．2.已知矩阵M＝的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝是矩阵M的特征向量吗？为什么？4.已知矩阵A＝，设向量β＝，试计算A5β的值．5.已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．6.已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个

2、特征向量α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．7.已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A及A的逆矩阵B；(2)已知矩阵M＝，求M的特征值和特征向量；(3)若α＝在矩阵B的作用下变换为β，求M50β.(结果用指数式表示)8.已知二阶矩阵M的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵

3、M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．9.给定矩阵M＝，N＝及向量α1＝，α2＝.(1)求证M和N互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M的特征向量．10．给定矩阵M＝及向量α＝.(1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量α1，α2；(2)确定实数a，b，使向量α可以表示为α＝aα1＋bα2；(3)利用(2)中的表达式计算M3α，Mnα；(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？参考答案1.【解】　矩阵M的

4、特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)．令f(λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组易求得为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组易求得为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M＝的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为，属于λ2＝6的一个特征向量为.2．【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4因为λ1＝3为方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的

5、一个特征向量为α＝，则由得x＝－y令x＝1，则y＝－1.所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.3．【解】　(1)因为2α＋3β＝2＋3＝，所以M(2α＋3β)＝＝，所以向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象为.(2)向量γ＝不是矩阵M的特征向量．理由如下：Mγ＝＝，向量与向量γ＝不共线，所以向量γ＝不是矩阵M的特征向量．4．【解】　矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2

6、，得，得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.5．【解】　(1)∵＝，∴＝，∴a＝－4.(2)∵A＝，∴f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组得一个非零解，因此α1＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组得一个非零解，因此α2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3

7、，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为，.6．【解】　由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝，可知＝6，所以c＋d＝6，①由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝，可知＝，所以3c－2d＝－2.②联立①②可得解得即A＝，A的逆矩阵A－1＝.7．【解】　(1)A＝＝；B＝A－1＝.(2)设M的特征值为λ，则由条件得＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0.解得λ1＝1，λ2＝6.当λ1＝1时，由＝，得M属于1的特征向量为α1＝；当λ2＝6时，由＝6，得M属于6的特征向量为α2

8、＝.(3)由Bα＝β，得β＝＝，设＝mα1＋nα2＝m＋n＝，则由解得所以β＝－α1＋2α2.所以M50β＝M50(－α1＋2α2)＝－M50α1＋2M50α2＝－＋2×650×＝.8．【解】　(1)设矩阵M＝，则＝8＝，故由题意得＝，故联立以上两方程组可解得故M＝.(2)由(1)知矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f(λ)＝0，解得矩阵M的另一个特征值λ＝2.设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量α2＝，则Mα2＝＝2，解得2x＋y＝0.