不等关系及一元二次不等式

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1、不等关系及一元二次不等式自主梳理1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连结两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.2.两个实数比较大小的方法(1)作差法(a，b∈R)；(2)作商法(a∈R，b>0).3.不等式的性质(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(

2、5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2).2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1,2＝(x10的解集a>0(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－)∪(－，＋∞)a<0(x1，x2)例题讲解例1比较(a

3、＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.8归纳：作差比较法的步骤是：1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3、判断符号；4、作出结论．练一练1.设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②acloga(b－c).其中所有正确结论的序号是________.2.已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．3.若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－

4、b

5、的取值范围是_____________

6、___．(一)　一元二次不等式的解法例3解下列不等式：归纳：可利用求根公式得到方程ax2＋bx+c＝0的解，再求不等式的解集练一练1.解下列不等式：(1)－x2＋2x－>0；(2)9x2－6x＋1≥0.2.解下列不等式：(1)2x2＋4x＋3<0；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)8x－1≥16x2.（二）解绝对值不等式例4（1）.（2）.（3）8练一练1.解下列不等式:（1）.（2）.（3）.（4）.（5）

7、4x-3

8、>2x+1.（6）（三）解分式不等式例5解关于x的不等式＞1(a＞0)练一练1.解下列不等式:（1）

9、.(2)(3)（4）(四)解指数不等式：8（五）解对数不等式8(六）解无理不等式的解法（1）（2）（3）（4）例6：解不等式⑴⑵例7：解不等式8练习：解不等式例8：解不等式练习：1.不等式的解集为_________2.（七）　含参数的一元二次不等式的解法例9　已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.归纳：解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别

10、式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．练一练(1)ax2－(a＋1)x＋1<0.(2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(3)不等式≤0的解集为________.8（八）　一元二次不等式恒成立问题例10　已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．例11设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<

11、－m＋5恒成立，求m的取值范围.练一练(1).当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________.(2)关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．　例12(1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．(2)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围________.8练一练(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－

12、__.(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．归纳：不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是8