微积分第3章习题解答(上)

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1、第3章习题参考解答习题3-1（未修改）1、答：不能。因为函数在区间上的值可能取正和负。正确的解释应为在轴上方的曲边梯形的面积之和与在轴下方的曲边梯形的面积之和的差。2、解：。3、解：（1）=右图三角形面积=；01（2）=右图四分之一单位圆的面积=；（3）=下图中两个曲边梯形的面积差额=（4）=上面右图中的两个曲边梯形的面积的和=4、解：（1）；（2）。5、解：（1）因为，所以，故；（2）因为，所以，故；（3）因为，所以，故；（4）因为，所以，故；25习题3-21、计算下列各函数的导数（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：2

2、、计算下列定积分:解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3、设函数，求解：4、求下列极限25（1）解：（2）解：5、设，求在[0,2]上的表达式解：当时，当时，所以习题3-31、求下列不定积分(其中a，m，n，g为常数)解：（1）（2）（3）（4）（5）25（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）2、求下列定积分解：（1）25（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3、,和是否都是的原函数解：因为所以都是的原函数。4、已知曲线上的任意一点的切

3、线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点(0,1)的曲线方程解：由已知得，，又曲线过(0,1)点，所以1=0+C，即C=1，故所求曲线为。5、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是(m/s)，问：（1）经3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360m需要多少时间？解：（1），故经3秒后物体离开出发点的距离是27m；（2）因为所以，故物体走完360米所需时间为。习题3-41、计算下列不定积分解：25（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14

4、）（15）（16）25（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）（25）（26）（27）（28）（29）（30）（31）（）25（32）（33）（34）（35）；（36）注：2、求下列不定积分解：（1）（2）（3）（4）解：由25得，（5）解：由得，（6）解：由得，（7）解：由25得，（8）解：（9）解：（10）注：可使用“万能替换”公式求解。（11）25解：用“万能替换”，令（12）（13）（14）　　　　　　（15）　　　（16）（17）（18）253、计算下列定积分（1）（2）（3）（

5、4）（5）（6）（7）注：用了171页的例13的结论。（8）（9）（10）（11）25（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）4、利用函数的奇偶性计算下列积分（1），（上是奇函数）（2）注：用了183页例11的结论。（3）；（4），（上是奇函数）5、设f(x)为连续函数，证明：证明：6、设f(x)在[-b,b]上连续，证明：25证明：7、对于任意常数a，证明：.证明：8、证明：证明：注：本题改为可能更好一些。9、证明：证明：10、证明：证明：又。11、设f(x)是以2l为周期的连续函数，证明：的值与a无关证明

6、一：令则所以常数，即与无关。证明二：（1）又（2）（2）代入（1）得，即的值与无关。12、（1）若f(x)是连续函数且为奇函数，证明：是偶函数25（2）若f(x)是连续函数且为偶函数，证明：是奇函数.证明：令（1）则是偶函数（2）则是奇函数习题3-51、计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）25（9）（10）（11）（12）（13）（14）(15)25(16)(17)(18)(19)(20)原式=…………(1)又而所以代入（1）式得：(21)2、求下列定积分（1）（2）25（3）（4）（5）（6）(

7、7)(8)(9).3、求下列不定积分（1）（2）25或（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）25或（12）（13）（14）或（15）（16）（17）25（18）（19）（20）（21）（22）25（23）（1）而代入（1）式（24）习题3-61、判断下列反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值（1）（2）发散；（3）（4）2、判断下列反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值（1）25所以（2）（3）又所以发散（4）所以收敛且收敛于；注:也可作三角变换如令.3、判断下列反常积分的敛散性，如果收敛

8、，则计算反常积分的值（1）所以反常积分收敛，且收敛于；（2）又所以原反常积分收敛且25（3）因为，所以原反常积分收敛且收敛于；（4）又故反常积分发散4、设反常积分，试推导满足的递推公式，并求出。解：又，所以，5、如果非负函数满足，则称为概率密度函数，设证明：是一个概率密度函数,并计算反常积