微积分（上） 课后习题答案解析试卷 第4次课堂练习及参考解答

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1、一．求解下列微分方程：（指出方程的类型，写出相关的变量代换）22⎧xdy+(xy−y)dx=01．⎨⎩y)1(=1125y′+y=xy2．x⎧′′+′2=′yy(y)y⎨3．y)0(=,1y′)0(=2⎩x4．y′′+2y′+y=xe（写出特解的具体形式及通解的形式）二．火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F(常数),阻力为a+bv，其中a,b为常数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).（写出该初值问题，并指出方程的类型）参考答案：2dy⎛y⎞y一．1．解法

2、1：这是一个一阶齐次微分方程，方程化为=⎜⎟−dx⎝x⎠xydydu令u=，则=u+xxdxdxdu2故u+x=u−u，这是一个可分离变量的微分方程，dxdudx⎛11⎞2分离变量：=⇒⎜−⎟du=dxu(u−)2x⎝u−2u⎠x1⎛2⎞2两端分别积分：ln⎜1−⎟=lnx+lnC⎝u⎠222x2即：1−=Cx，亦即：1−=Cx，将初始条件y)1(=1代入得C=−1uy2x22x所以，1−=−x，整理得方程的解为：y=2y1+x112解法2：化为y′+y=y，这是n=2的伯努利方程2xx2−21−11−1方程同除−y

3、得：−yy′−y=−，，令u=y，2xx11则u′−u=−，这是一阶线性非齐次方程2xx11−1∫dx1−∫dx111u=y=ex(∫−exdx+C)=x(−dx+C)=x(+C)=(+Cx)2∫32xx2x2x1将初始条件y)1(=1代入得C=221111+x2x即=(+x)=，故方程的解为：y=2y2x2x1+x−51−422．解法1：这是n=5的伯努利方程，化为yy′+y=xx−4−5令u=y，则u′=−4yy′−54−4242上述方程化为−4yy′−y=−4x，即u′−u=−4x，这是一阶线性非齐次方程xx4

4、4−4∫xdx⎡2−∫xdx⎤42−4故y=e⎢∫−4xedx+C⎥=x[∫−4x⋅xdx+C]⎣⎦4⎡4⎤34=x⎢+C⎥=4x+Cx⎣x⎦55(xy)(xy)解法2：方程同乘x，化为yx′+y=，即(xy)′=，属于一阶其它类型，故令u=xy22xx25ududx11则u′=，这是可分离变量的方程，分离变量：=，两端积分：−=−−C25241xux4ux144134整理：=+4C=+C，将u=xy代入得=4x+Cx414uxxydP3．解法1：这是一个可降阶(不显含自变量x)的微分方程，故令y′=P(y)，则y′

5、′=PdydP2故方程化为yP+P=P，得P=0（不合题意，舍去）；dydPdP11y+P=1，⇒+P=，这是一阶线性非齐次方程，解得dydyyy11−∫ydy⎡1∫ydy⎤1⎡1⎤1C1P=e⎢∫edy+C1⎥=⎢∫⋅ydy+C1⎥=(y+C1)=1+⎢⎣y⎥⎦y⎣y⎦yyC1代入初始条件得2=1+，⇒C=1，11dy1所以=1+，这是一个可分离变量的微分方程，dxyydy分离变量：=dx1+y两端分别积分：y−ln(1+y)+lnC=x，⇒y−lnC1(+y)=x22e由初始条件得：1−lnC1(+)1=0，⇒C

6、=222e1(+y)故方程的解为：y−ln=x，或y−ln(1+y)+ln2−1−x=02解法2：方程可化为(yy)′′=y′，即(yy′−y)′=0（这种方程称为恰当方程）方程两端对x积分得：yy′−y=C，11由初始条件可得：C=1，因而y′=1+（后面的解法同上）1y324．对应的齐次方程的特征方程为：r+2r+1=0，得特征根r=−12,1−x对应的齐次方程的通解为y=(C+Cx)e12x由于ω=1不是特征根，设原方程的特解为y=(ax+b)e，0xx则y′=(ax+a+b)e，y′′=(ax+2a+b)e0

7、0代入原方程整理得4ax+4a+4b=x⎧4a=1111x故⎨a=，b=−，y0=(x−)1e⎩4a+4b=0444−xx故原方程的通解为y=y+y=(C+Cx)e+(ax+b)e012−x1x=(C+Cx)e+(x−)1e1242⎧dsds⎪m=F−(a+b)二．由题意得⎨dt2dt⎪⎩s)0(=0s′)0(=02dsds整理得m+b=F−a，这是一个二阶常系数线性非齐次方程2dtdt2b对应的齐次方程的特征方程为mr+br=0，特征根为r=0，r=−mF−aF−a设原方程的特解为s=kt，代入原方程得bk=F−a

8、⇒k=，即s=t00bbb−tF−a故原方程的通解为s=C+Cem+t12b⎧C1+C2=0m(F−a)m(F−a)⎪代入初始条件得⎨bF−a，C=−，C=−C+=01222⎪⎩m2bbbbm(F−a)−tF−a即s(t)=(em−)1+t2bb注：可以看作为可降阶的微分方程（方程既不显含自变量t，也不显含未知函数s），但解方程的过程要比上述类