《圆》导学案(原创最好版)

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1、《§24.1.5(补充)与圆有关的角的综合 》教学设计学习目标1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论;2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。一、导学探究知识概述一、圆心角:1、          的角叫圆心角.2、圆心角定理:在        中,相等的圆心角所对的   相等,所对的    也相等;3、圆心角定理推论:在同圆或等圆中,两个   、两条  、两条  、两条弦的   中有一组量相等,其余各组量都相等。二、圆周角1、顶点在  ,两条边      的角叫做圆周角.2、

2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的    .3、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角    ;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧    .推论2:   (或  )所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是   .4、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角   .推论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的    .二、精讲多动一、加深理解1、对圆周角的理解①如图,∠AOB与∠ACB是对的圆心角与圆周角,故有:∠ACB=  ∠AOB,反之∠AOB=  ∠ACB.②定理的作用是勾通圆心角,圆周角之间的数量关系.2、

3、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1:①是圆中证角相等最常用的方法之一.②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,一般情况不相等(如图中的∠1与∠2).相等的弧相等的弦相等的圆心角相等的圆周角③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”,离开这个前提条件,结论不成立(如图中的).④联系圆心角定理推论可得:在同圆或等圆中,(2)推论2应用广泛,一般地,如果题目中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直时,也往往作出直径即可解决问题,推论也是

4、证明弦是直径常用的办法.3、对圆的内接四边形定理的理解(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词,是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角.(2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°).(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据.(4)使用定理时,要注意观察图形,不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置.二、解题方法技巧点拨1、圆心角和圆周角之间的换算例1、已知:如图,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于P,且∠APD=60°,∠COB=30°,求∠ABD的度数.例2、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=80°,以AB为直径的半圆交AC于

5、D,交BC于E.求所对圆心角的度数.点评:(1)辅助线AE,构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形,因此在关于直径的问题中,常添辅助线使之构成直角三角形.即有直径,得直角.(2)本题还有副产品BE=EC,你注意了吗?该副产品有时很有用.仿解:如图,BC为半圆O的直径,点F是弧BC上一动点(点F不与B、C重合),A是弧BF上的中点,设∠FBC=α,∠ACB=β.⑴当α=50°时,求β的度数。⑵猜想α与β之间的关系,并给与证明。2、圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题30  圆内角:角的顶点在圆内的角叫做圆内角.  圆外角:角的顶点在圆外,并且两边都

6、和圆相交的角.例3、如图,圆的弦AB、CD延长线交于P点,AD、BC交于Q点,∠P=28°,∠AQC=92°,求∠ABC的度数.分析:圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系,故圆内角∠AQC与圆外角∠P可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与∠A(∠C)建立起联系。点评:⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系.⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是:圆内角>圆周角>圆外角.⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和.(如图,∠AQC=∠ABC+∠A).⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图,∠P=∠ABC-∠A).3、与

7、圆周角有关的证明例4、如图,△ABC内接于⊙O,AE⊥BC于D,交⊙O于E,AF为⊙O的直径.⑴求证:∠BAF=∠CAE.(2)求证:AB·AC=AD·AF;(3)若过O作ON⊥AB于N,则ON与CE之间有何数量关系?例5、如图,AB是△ABC外接圆O的直径,D为⊙O上一点,且DE⊥CD交BC于E,求证:EB·CD=DE·AC.     例6、如图,△ABC是⊙O的内接三角形,⊙O的直径BD交AC于E,AF⊥BD于F,延长AF交BC于G.求证:AB2=BG·BC.例7、已知:⊙O1的圆心O1在⊙O2上,且两圆交于A、B两点,O1D为⊙O2的弦,交

8、⊙O1于C,求证:O1C2=O1E·O1D.点评:在圆中有弧中点时,常用以下三种辅助线.①过弧中点作半径;②连等弧对的圆心角和圆周角;③

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