[理学]线性代数复习

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1、线性代数复习2010.8.课程重点：解线性方程组★（1）行列式（2）矩阵（3）矩阵初等变换与矩阵的秩（4）向量（5）方阵的相似对角化（6）二次型解线性方程组判断线性方程组解的情况一、行列式★二、三阶行列式的计算★四阶行列式的计算★特殊的n阶行列式的计算什么是行列式？二元线性方程组：Ⅰ、二阶与三阶行列式的计算主对角线副对角线Ⅱ、四阶行列式的计算★方法一：行列式的性质计算方法二：行列式的按行（列）展开计算Ⅲ、特殊的n阶行列式的计算对所有的n元排列求和，共n！项求和四个结论：(1)上三角形行列式（主对角线下方元素都为0）(2)下三角形行列式（主对角线上方元素都为0）(3)（显然）(4)Ⅳ、行

2、列式的性质性质1：性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。性质3：用数k乘以行列式的某一行（列）的所有元素，等于用数k乘以此行列式。推论1：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面；推论2：行列式中某一行（列）的元素全为0，则此行列式为0。性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。性质5：若行列式的某一行（列）的元素可写成两数之和，则此行列式可拆成两个行列式之和。推广：若行列式的某一行（列）的元素可以写成m个数的和，则此行列式可以写成m个行列式之和。例：性质6：行列式的某一行（列）的各元素的k倍加到另

3、一行（列）对应的元素上去，行列式不变。（1）交换行列式的某两行（列）：运算记号（2）行列式的某一行（列）乘以数k：行列式的某一行（列）提出公因子k：（3）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去：总结行列式的三种基本运算，并引入运算的记号！例：利用行列式的性质计算行列式：通过行列式的性质把行列式化为上三角行列式！Ⅴ、行列式的按行（列）展开一、余子式及代数余子式定义：在n阶行列式：中把所在的第i行和第j列划去后，留下的n-1阶行列式称为元素的余子式；例：解：行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和。定理1：按行展开：按列展开：行列式的按行（列）展开把一个n

4、阶行列式的计算化为n个n-1阶行列式的计算了。例：技巧：(1)为了计算方便，可选择0比较多的行或列展开；(2)先利用行列式的性质把某一行（列）的元素尽可能多地化为0，然后再按此行（列）展开。特殊的n阶行列式补充：（5）特殊的n阶行列式补充：（6）范徳蒙行列式（Vander-monde）解：