《1.4.1 曲边梯形面积与定积分》同步练习2

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1、《1.4.1曲边梯形面积与定积分》同步练习21.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1，x=1，y=0所围成的图形面积时，若将区间[-1，1]n等分，则每个小区间的长度为(　　)A.B.C.D.解析:每个小区间长度为.答案:B2.求由抛物线y=2x2与直线x=0，x=t(t>0)，y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i-1个区间为(　　)A.B.C.D.解析:每个小区间长度为，故第i-1个区间的左端点为:0+(i-2)·，右端点为.答案:D3.当n很大时，函数f(x)=x2在区间上的值，可以用(　　)近

2、似代替.A.fB.fC.fD.f(0)解析:可用区间的右端点的函数值f来近似代替.答案:C4.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上近似值等于(　　)A.只能是左端点的函数值f(xi)B.只能是右端点的函数值f(xi+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi+1])D.以上答案均正确答案:C5.在求由曲线y=与直线x=1，x=3，y=0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于(　　)A.B.C.D.解析:每个小区间长度为，第

3、i个小区间为，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈·.答案:A6.在等分区间的情况下，f(x)=(x∈[0，2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)A.B.C.D.解析:若将区间[0，2]n等分，则每一区间的长度为，第i个区间为，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式极限形式为.答案:B7.直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x3所围成曲边梯形的面积是　　　　　. 解析:(1)分割将区间[0，2]分成n个小区间，则第i个小区间为，区间长度为Δx=，每个小曲边梯形的面积为ΔSi(i=1，2，…，n)，则S=ΔSi.(

4、2)近似代替用小矩形的面积ΔS'i近似地代替ΔSi，ΔSi≈ΔS'i=f·Δx=·(i=1，2，…，n).(3)求和Sn=ΔS'i=·Δx==(i-1)3=·=，∴S≈Sn=.(4)取极限S=Sn==22=4.答案:48.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx(k为常数，x是伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长b所做的功为　　　　　. 解析:将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)=kx.将[0，b]n等分，记Δx=，分点依次为x0=0，x1=，x2=，

5、…，xn-1=，xn=b.当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxi·Δx=kxi.则从0到b所做的总功W近似地等于ΔWi=kxi·Δx=k··=[0+1+2+…+(n-1)]=·=.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W=ΔWi=kb2.答案:kb29.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积.解:∵y=x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求图形的面积应为抛物线y=x2(x≥0)与直线x=0，y=4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影.由得交点为(2，4).如图，先求由直线x=0，x=2

6、，y=4和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割将区间[0，2]n等分，则Δx=，取ξi=.(2)近似代替、求和Sn=·[12+22+32+…+(n-1)2]=.(3)取极值S=Sn=.∴S阴影=2×4-.∴2S阴影=，即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为.10.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?解:(1)分割在时间区间[0，2]上等间隔地插入n-1个分点，将它分成n个小区间.记第i个小区间

7、为(i=1，2，…，n)，其长度为Δt=.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1，2，…，n)，则显然有s=Δsi.(2)近似代替取ξi=(i=1，2，…，n).于是Δsi≈Δs'i=v·Δt=·=(i=1，2，…，n).(3)求和sn=Δs'i=(12+22+…+n2)+4=·+4=8+4.从而得到s的近似值s≈sn.(4)取极限s=sn==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12km.