《3.2 复数的四则运算》导学案

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1、第3课时　复数的四则运算(2)　教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1　复数的除法法则是什么?解　设复数a+bi(a,b∈R)除以c+di(c,d∈R),其商为x+yi(x,y∈R),其中c+di≠0,[]即(a+bi)÷(c+di)=x+yi.因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等的定义可知错误！未找到引用源。解这个方程组,得错误！未找到引用源。于是有(a+bi)÷(c+di)=错误！未

2、找到引用源。+错误！未找到引用源。i.由于c+di≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2　初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+di的共轭复数是c-di,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解　错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i.所以(a+bi)÷(c+di)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源

3、。i.]三、数学运用【例1】　i+i2+i3+…+i2010+i2011+i2012.[1](见学生用书P57)[处理建议]　in是周期出现的,in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).[规范板书]　解　原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2009+i2010+i2011+i2012)=0.[题后反思]　可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式=错误！未找到引用源。=0,这个方法也很好.变式　计算i+2i2+3i3+…+1997i1997.[规范板书]　解　　原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7

4、i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1997i=499·(2-2i)+1997i=998+999i.【例2】　(教材第116页例4)设ω=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i,求证:(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]　先计算ω2,再做加法.[规范板书]　证明　(1)1+ω+ω2=1+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i+错

5、误！未找到引用源。-2×错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。i+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。i-错误！未找到引用源。=0.(2)ω3=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+3·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。i+3·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。i=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i=1.(3)ω错误！未

6、找到引用源。=1,由(2)知ω2=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,同理错误！未找到引用源。=ω.[题后反思]　对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,错误！未找到引用源。.变式　设z=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i,求证:(1)1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-错误！未找到引用源。.[规范板书]　解　由例2知z=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i

7、=-错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=-ω.(1)1-z+z2=1+错误！未找到引用源。+(-错误！未找到引用源。)2=1+错误！未找到引用源。+ω=0.(2)z3=(-错误！未找到引用源。)3=1.(3)z2=(-错误！未找到引用源。)2=ω=-错误！未找到引用源。.【例3】　计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]　用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]　解法一　设(1+2i)÷(3-4i)=x+yi,所以1+2i=(3-4i)(x+yi),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以

8、3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-错误！未找到引用源。,y=错误！未找到引用源。.所以(1+2i)÷(3-4i)=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i.解法二