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1、ByNO.7概率论第四章——随机变量的数字特征一、数学期望1.定义1)设离散型随机变量X的分布率为P{X=xk}=pk,k=1,2,···.若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=2)设连续型的随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=2.性质（假设以下所遇到的随机变量的数学期望存在）1）设C是常数，则有E(C)=C.2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X).3）设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(这一性质可以推广到任意有限个随
2、机变量之和的情况）4）设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y).(这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况）3.一个数学期望有关的定理2）如果X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x),若绝对收敛，则E(Y)=E[g(X)]=设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g(x)是连续函数）.1）如果X是离散型随机变量，它的分布率为P{X=xk}=pk,k=1,2,···，若绝对收敛，则有E(Y)=E[g(Y)]=4.相关例题解：因级数=P{X=}==2不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在.Thekeyto1：解：引入随机变量Xi=i=1,2，···
3、，则总的配对数X可表示为X=X1+X2+····+Xn.显然，P{Xi=1}=1/n,i=1,2,···，所以有E（Xi）=1/n*i+0*(1-1/n)=1/n,所以E(X)=E(X1+X2+···+Xn)=E(X1)+E(X2)+···+E(Xn)=1/n*n=1Thekeyto2:例1.设随机变量X的分布律为P{X=}=，j=1,2，····，说明X的数学期望不存在.例2.将n只球（1—n号）随机的放进n个盒子（1—n号）中，一个盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中去，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X).二、方差1.定义X的方差,记为D(X)或Var(X),即
4、D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}.设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为*在应用上我们还引入量,记为(X),称为标准差或均方差.2.计算Thefirst对于离散型随机变量，有D(X)=，其中P{X=xk}=pk,k=1,2,···是X的分布律.Theextra*随机变量X的方差可按下列公式计算.D(X)=E(X)-[E(X)]Thesecond对于连续型的随机变量，有D(X)=，其中f（x）是X的概率密度.²²3.性质1）设C是常数，则D(C)=0.3）设X,Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{
5、(X-E(X))(Y-E(Y))}.*特别，若X,Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y).2）设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X).4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即P{X=E(X)}=14.重要定理——切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=,则对于任意正数，不等式P{
6、X-
7、≥}≤成立.证明：设X的概率密度为飞f(x),则有P{
8、X-
9、≥}=≤f(x)dx≤=这个公式很重要哦，千万记住了·····5.例题解：E[(X-C)2]=E(X2-2CX+C2)=E(X2)-2CE(X)+
10、C2=E(X2)-[E(X)]2+{[E(X)]2-2CE(X)+C2}=D(X)-[E(X)-C]2D(X),等号当且仅当C=E（X）时成立.Thekey设X为随机变量，C是常数，证明D(X)11、
12、=
13、1的充要条件是，存在常数a,b使得P{Y=a+bX}=15)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).6)
14、
15、≤1.*当=0时，称X与Y不相关.2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3）Cov(X+Y)=E(XY)-E(X)E(Y).1）Cov（X,Y）=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X).4）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.3.例题~设随机变量XN（，），YN(,),且设X,Y相互独立，试求Z1=aX
