初中数学竞赛复习

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1、初中数学竞赛复习作者：潘轶超日期：2004.12.25.1.过点作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（C）A.4条B.3条C.2条D.1条与坐标轴交点为解：2.已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为（B）3解：A.B.C.D.2解：3.实数满足，则的最大值是.4.已知二次函数，且当时，，当时，，则当时，的取值范围是（A）A.B.C.D.考虑极端情形，即以两点作二次函数，得，将代入，得.又以两点作一次函数（无法作二次函数），得，将代入，..5.设是一个函数，使得对所有整数，都有①，

2、和②，则等于（A）A.26B.27C.52D.53解：在①中令，得.在①中令，并根据②得.从而，.7解：6.已知实数满足，则6解：7.一个三角形的边长分别为，另一个三角形的边长分别为，其中，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（B）A.B.C.D.8.是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为，当分别乘以3，5，7，9后得到四个乘积，如果其每个乘积的个位数的数字之和仍为，那么这样的两位数有（B）个.A.3B.5C.7D.9首先可确定这样的两位数必为9的倍数（只有9的倍数乘以一个数后仍为9的倍数），所以在18，

3、27，36，45，54，63，72，81，90，99这几个数中考虑。经检验，18，36，45，90，99符合题意.9.平面上有8个点，其中任意三点不共线，在这些点之间连25条线段，则这些线段最多可以构成41个以为顶点的三角形.解：8个点之间的连线有条，共组成个三角形.现只有25条线段，少了3条线段.少第一条线段，少6个三角形；少第二条线段，至少少5个三角形；少第三条线段，至少少4个三角形.因此，25条线段最多组成个以为顶点的三角形.（组合数公式）知识拓展：排列数公式组合数公式10.如图，在梯形中，，，，.若，则

4、.11.如图所示，在中，，且到、的距离之比为1∶2。若的面积为32，的面积为2，则的面积等于（B）A.6B.8C.10D.1212.如图，如果一个等腰梯形能被分成两个等腰三角形，那么称其为黄金梯形，黄金梯形的四边之比是.13.如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现在栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120种.14.从1分，2分，5分的三种硬币中取出100枚，总计3元，其中2分硬币枚数的可能情况有（C）A.13种B.16种C.17种D.19种15

5、.利用公式或其他方法找出一组正整数填空：.将，看作和即可.16.A,B,C三个篮球队进行篮球比赛，规定每场比赛后，次日由胜队与另一队进行比赛，而负队则休息一天，按这个规定，最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场。问每队各打了多少场？解：我们考虑A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，所以一共赛了36场。注意到负一场休息一天，我们设想最后一场比赛后负队也休息一天，则每个队的负场和休息总是成对出现的。我们再来考虑B队胜12场，C队胜14场，共26场。在这26场中，A或是负或是休息。所以A负的场数与休息

6、的天数共26。所以，A队负的场数.同理，B队负的场数C队负的场数所以A队赛了10+13=23（场），B队赛了12+12=24（场），C队赛了14+11=25（场）。17.求所有质数，使得为完全平方数。18.已知是实数，关于的方程组有整数解，求满足的关系式。解：将代入，消去，得，于是.若，即，则上式左边为0，右边为-1不可能。所以。于是.因为都是整数，所以，即或，进而或.当时，代入得；当时，代入得.综上所述，满足关系式是，或者，是任意实数。19.已知，且，求的最小值。解：令，由，判别式，所以这个二次函数的图像是一

7、条开口向下的抛物线，且与轴有两个不同的交点，因为，不妨设，则，对称轴。于是，所以，故，当时，等号成立。所以，的最小值是4。20.如图，是等腰直角三角形，直角边长为1，是斜边上一点，过点作和的垂线，垂足分别为点和，考虑和以及矩形的面积，证明不管怎样选择点，这三个面积中至少有一个不小于.解：令，则（1）如果则（2）如果则（3）如果则，这时.（此题应逆向考虑）21.如图，点为半圆上一个三等分点，点为的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（C）A.1B.C.D.22.如图，，为上一点，为上一点，且，，在上取

8、一点，在上取一点，设，求的最小值.解：如图，分别以所在直线为对称轴，作的对称图形，这时，关于的对称点为上的，点关于的对称点为上的点，，。则，在中.，即的最小值（长）为.（以上两题皆运用了轴对称原理）