正弦余弦函数的周期性

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时间:2019-05-10

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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质——周期性问题2:类似的,这样现象在我们的生活中有没有?试举例说明.问题1:今天是11月18日,星期三,那么7天后是星期几?30天后呢?为什么?用自变量x来表示“x天后”,实数1表示星期一、实数2表示星期二……以此类推,实数7表示星期日.以星期为例,来构造一个函数:xf(x)……1234567890-1…234…57612345xf(x)…………1234567890-123457612345f(-1)=2=f(6)……f(0)=3=f(7)……f(0)=f(0+7)……我们可以发现:f(2)=5=f(9)……f(1)=4=f(8)…………f(-1)=f(-

2、1+7)…………f(1)=f(1+7)……f(2)=f(2+7)……那么,对定义域内任意一个x都有f(x+7)=f(x)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.一、周期函数:思考:我们刚学习过的正弦、余弦函数是不是周期函数?6π2π4π-2πxy0f(x)=sinx(x∈R)由诱导公式可知:有sin(x+2π)=sinx即f(x+2π)=f(x)结合图像:在定义域内任取一个x,那么x+2π∈Rxx+2π正弦函数是周期函数,且2π是它的周期.那么余弦函数是不是周期函数?

3、如果是,多少是它的周期?正弦函数,余弦函数都是周期函数,且2π是它们的周期.?(1)函数有,则_____它的周期(填“是”或“不是”),为什么?(3)函数y=sinx,x∈[0,12π]是不是周期函数?为什么?2π是函数f(x)=sinx,x∈R的周期,则-2π是这个函数的周期吗?4π呢?-4π呢?从这个问题里,你能归纳出什么结论?(2)二、探究对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.不是不是都是的;结论是:都是正弦函数的周期.注意:今后我们谈到函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指此函数的最小

4、正周期.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数,余弦函数都是周期函数,且最小正周期等于2π.正弦函数、余弦函数的周期都是2π.三、例题分析:四、课堂练习:1、求下列函数的周期:第一组1第二组2第三组3例1、求下列函数的周期.三、例题与练习分析:第一组1第二组2第三组3解:他们的周期都是2π.解:(1)的周期是π.(2)的周期是4π.(3)的周期是2π.解:他们的周期都是4π..归纳:这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗?结论:(其中为常数,且)的周期T与解析式中的与x前面的系数有关“w”有关.2、掌握利用最基

5、本的函数:正弦函数、余弦函数的周期是2π,来求形如:(其中为常数,)的周期.四、小结:问题:你觉得你这节课学习了哪些知识?有什么收获?1、本节课我们学习了周期函数以及正余弦函数的周期性.要注意最小正周期的概念.五:课后作业与思考题.1、判断函数f(x)=2,x∈R是不是周期函数?若是,则4是不是它的周期?0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到什么结论?2、已知定义在R上的函数f(x)满足且x∈[0,2π]时,有求f(x)在[-4π,-2π]上的解析式.课本练习2A组10谢谢指导!再见特别提醒:(1)常数T不为0;(2)x的任意性;(3)x∈A,x+T∈A.(A

6、是函数的定义域).解:(一)∵f(x)=sin(-x)=sin(-x+2π)=sin[-(x-2π)]=f(x-2π)∴f(x)=f(x-2π)用x+2π替换上式中x∴f(x+2π)=f(x)∴T=2π(二)∵f(x)=sin(-x)=-sinx同理求f(x)的周期是2π(1)函数f(x)=有f(-1+2)=f(-1),则2_____它的周期(填“是”或“不是”),为什么?不是解:(一)由诱导公式可知:对定义域内任意的x有sin(x+2kπ)=sinx即f(x+2kπ)=f(x)所以函数f(x)=sinx,x∈R的周期是(二)∵2π是f(x)的周期∴f(x+2π)=f(x)用x-2π替换上

7、式中的x有f(x)=f(x-2π)同理可求都是这个函数的周期.∴--2π使这个函数的周期

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