正弦余弦函数的周期性

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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质——周期性问题2:类似的，这样现象在我们的生活中有没有？试举例说明.问题1:今天是11月18日，星期三，那么7天后是星期几？30天后呢？为什么？用自变量x来表示“x天后”，实数1表示星期一、实数2表示星期二……以此类推，实数7表示星期日.以星期为例，来构造一个函数：xf(x)……1234567890-1…234…57612345xf(x)…………1234567890-123457612345f（-1）=2=f（6）……f（0）=3=f（7）……f（0）=f（0+7）……我们可以发现：f（2）=5=f（9）……f（1）=4=f（8）…………f（-

2、1）=f（-1+7）…………f（1）=f（1+7）……f（2）=f（2+7）……那么，对定义域内任意一个x都有f（x+7）=f（x）对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.一、周期函数：思考:我们刚学习过的正弦、余弦函数是不是周期函数？6π2π4π-2πxy0f(x)=sinx(x∈R)由诱导公式可知：有sin(x+2π)=sinx即f(x+2π)=f(x)结合图像:在定义域内任取一个x，那么x+2π∈Rxx+2π正弦函数是周期函数，且2π是它的周期.那么

3、余弦函数是不是周期函数？如果是，多少是它的周期？正弦函数,余弦函数都是周期函数，且2π是它们的周期.？（1）函数有,则_____它的周期（填“是”或“不是”），为什么？（3）函数y=sinx,x∈[0,12π]是不是周期函数？为什么？2π是函数f(x)=sinx,x∈R的周期，则-2π是这个函数的周期吗？4π呢？-4π呢?从这个问题里，你能归纳出什么结论？（2）二、探究对于函数f(x),如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.不是不是都是的；结论是：都是正弦函数的周期.注意：今后我们谈到函数周期时，如果

4、不加特别说明，一般都是指此函数的最小正周期.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数,余弦函数都是周期函数，且最小正周期等于2π.正弦函数、余弦函数的周期都是2π.三、例题分析：四、课堂练习:1、求下列函数的周期：第一组1第二组2第三组3例1、求下列函数的周期.三、例题与练习分析：第一组1第二组2第三组3解：他们的周期都是2π.解：（1）的周期是π.（2）的周期是4π.（3）的周期是2π.解：他们的周期都是4π..归纳：这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗？结论:(其中为常数，且)的周期T与解析式中

5、的与x前面的系数有关“w”有关.2、掌握利用最基本的函数：正弦函数、余弦函数的周期是2π，来求形如：（其中为常数，）的周期.四、小结：问题：你觉得你这节课学习了哪些知识？有什么收获？1、本节课我们学习了周期函数以及正余弦函数的周期性.要注意最小正周期的概念.五：课后作业与思考题.1、判断函数f(x)=2,x∈R是不是周期函数？若是，则4是不是它的周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到什么结论?2、已知定义在R上的函数f(x)满足且x∈[0，2π]时,有求f(x)在[-4π,-2π]上的解析式.课本练习2A组10谢谢指导！再见特别提醒：（1）常

6、数T不为0；（2）x的任意性；（3）x∈A,x+T∈A.(A是函数的定义域).解：（一）∵f(x)=sin(-x)=sin(-x+2π)=sin[-(x-2π)]=f(x-2π)∴f(x)=f(x-2π)用x+2π替换上式中x∴f(x+2π)=f(x)∴T=2π（二）∵f(x)=sin(-x)=-sinx同理求f(x)的周期是2π（1）函数f(x)=有f(-1+2)=f(-1),则2_____它的周期（填“是”或“不是”），为什么？不是解：(一)由诱导公式可知：对定义域内任意的x有sin(x+2kπ)=sinx即f(x+2kπ)=f(x)所以函数f(x)=sinx,x∈R的周期

7、是(二)∵2π是f(x)的周期∴f(x+2π)=f(x)用x-2π替换上式中的x有f(x)=f(x-2π)同理可求都是这个函数的周期.∴--2π使这个函数的周期