高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.3 导数的几何意义教学案 新人教A版选修.doc

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1、1．1.3　导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？　(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？　　　　1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记

2、法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝.[点睛]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　)(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)(3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)A．不存在　　　　　　　B．与x轴平行或

3、重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案：B3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　)A．4　　B．－4　　　C．－2　　　D．2答案：D4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y轴　x轴求曲线的切线方程[典例]　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．[解]　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．y′

4、x＝2＝＝＝[4＋2·Δx＋(Δx)2

5、]＝4.∴k＝y′

6、x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝li.(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．　　　　　　[活学活用]过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为(　　

7、)A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0B．x－y－2＝0C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0D．x－y＋2＝0解析：选A　显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝li＝＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0.若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，则k＝＝＝＝x＋x0－1，又由导数的几何意义知k＝f′(x0)＝＝＝3x－2，∴x＋x0－1＝3x－2，∴2x－x0－1＝0，∵x0≠1，∴x0＝－.∴k＝x＋x0－1＝－，∴切线方

8、程为y－(－1)＝－(x－1)，即5x＋4y－1＝0，故选A.求切点坐标[典例]　已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.[解]　设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，∴切点的坐标为

9、.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．　　　　　　[活学活用]直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为__

10、_________，切点坐标为____________．解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为y′＝＝3x2－2x，则y′

11、x＝x0＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，又(x0，y0)在直线y