线性代数-第四章线性方程组4.2齐次线性方程组

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1、第四章线性方程组§4.2齐次线性方程组一、齐次线性方程组的性质二、基础解系及其求法三、小结第四章线性方程组一、齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn0a21x1a22x2a2nxn0（4-5）am1x1am2x2amnxn0若记a11a12a1nx1aaaxAx21222n,2aaaxm12mmnn第四章线性方程组则上述方程组（4-5）可写成向量方程Ax0(46)若xx,,,x为方程(45)

2、的解，则12nx1xx2xn为方程(46)的解向量，也就是方程(45)的解向量.第四章线性方程组性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即设,是方程组(45)的解向量，则也1212是方程组(45)的解向量.证明只需证明+满足方程组(46)即可12A0,A012AAA01212故x也是Ax0的解.12第四章线性方程组性质42..2一个解向量的倍数仍是解向量，即设是方程组(45)的解向量，是任意数，则也是方程组(45)的解向量.证明AA0

3、0.11也是方程组(45)的解向量由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量.设,,,是方程组(45)的解向量，,,12nr12nr是任意数，则仍是方程组1122nrnr(45)的解向量.第四章线性方程组二、基础解系及其求法方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空间，n称为方程组(4-5)的解空间.它是R的一个子空间.如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、4.2.2知，它一定有无穷多非零解.要求出(4-5)的所有解，只需求出解空间的一个基就

4、行了.下面我们来求解空间的一个基设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为第四章线性方程组10bb1rn1101bbrr1rnI00000000与I对应的线性方程组为xbxbx11,r1r11,nn(47)xbxbxrrr,1r1rn,n第四章线性方程组显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程组(4-7)中，给定xr+1,…,xn一组确定的数，可惟一确定x1,…,xr的值，便得

5、到方程组(4-7)的一个解，也就是方程组(4-5)的一个解，我们把xr+1,…,xn称为自由未知量.令xr+1,…,xn分别取下列n-r组数xr1100x010r2，，，xn001第四章线性方程组由(4-7)依次可得xbbb11,r11,r21,n，，……，xbbbrrr,1rr,2rn,从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解b

6、b1,r2b1,n1,r1bbrr,2brn,rr,111，20，……，nr0010001第四章线性方程组下面证明,,,是解空间的一个基12nrxr1x首先由于r2所取的nr个nr维向量xn100010，，，线性无关001第四章线性方程组所以在每个向量前面添加r个分量而得到的n

7、r-个n维向量,,,也是线性无关.12nr其次，证明方程组(45)的任一解1rr1n可由,,,线性表示.12nr第四章线性方程组作向量r11r22nnr由于,,,是方程组(45)的解，故也是12nr方程组(45)的解.比较和，它们后边nr个分量对应相等，而线性方程组(47)表明它的任一解的前r个分量可由后nr个分量惟一确定，因此,即r11r22nnr因此,,,是解空间的一个基，从而知12

8、nr解空