怎样证明两线段相等和两角相.doc

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1、怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.⒈怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：⑴三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线

2、上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；⑵证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；⑶圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相

3、等；⑷等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：⑴同角（或等角）的余角、补角相等；⑵证明两直线平行，同位角、内错角相等；⑶到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；⑷全等三角形、相似三角形的对应角相等；⑸同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；⑺同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；⑻弦切角等于它

4、所夹的弧所对的圆周角；⑼从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；⑽圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；⑾通过计算证明两角相等；⑿等量代换，等式性质.【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．总结：通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点

5、C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF.总结：证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求证：△ABC为等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.例4已知：如图，正△ABC的边长为a,

6、D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连结DE，交BC于点P.⑴求证：DP=PE；⑵若D为AC的中点，求BP的长.总结：添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.思考：若将条件正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？若将条件正△ABC改为等腰△ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.总结：直角三角形、等腰三角形等特殊三角

7、形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④=；其中一定成立的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④总结；一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线

8、段或角，探索等量关系；证