解答题规范专练(四)　立体几何

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1、解答题规范专练(四)　立体几何1．(2013·南通模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．(1)求证：AC1∥平面B1DE；(2)求三棱锥ABDE的体积．2．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别是BC，CA的中点．(1)证明：平面PBE⊥平面PAC；(2)在BC上找一点F，使AD∥平面PEF，并说明理由．3．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)

2、求证：EM∥平面ABC；(3)试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．答案1．解：(1)证明：取BB1的中点F，连接AF，CF，EF.∵E，F分别是CC1，BB1的中点，∴CE綊B1F.∴四边形B1FCE是平行四边形．∴CF∥B1E.∵E，F是CC1，BB1的中点，∴EF綊BC，又BC綊AD，∴EF綊AD.∴四边形ADEF是平行四边形．∴AF∥ED.∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E，∴平面ACF∥平面B1DE.又AC平面ACF，∴AC∥平面B1DE.(2)由条件得S△ABD＝AB·AD＝2.∴VABDE＝VEABD＝S

3、△ABD·EC＝×2×1＝，即三棱锥ABDE的体积为.2．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.∵△ABC为正三角形，E是CA的中点，∴BE⊥AC.又∵PA，AC⊂平面PAC，PA∩CA＝A，∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.(2)取F为CD的中点，连接EF.∵E，F分别为AC，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF∥AD.又∵EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF.3．解：由题意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE＝2，DC＝4，AB⊥AC，且AB＝AC＝2.(1)∵EA⊥

4、平面ABC，∴EA⊥AB，又AB⊥AC，EA∩AC＝A，∴AB⊥平面ACDE.∴四棱锥BACDE的高h＝AB＝2，梯形ACDE的面积S＝6，∴VBACDE＝Sh＝4，即所求几何体的体积为4.(2)证明：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM，MG，AG，∴MG∥DC，且MG＝DC，∴MG平行且等于AE，∴四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG，又AG⊂平面ABC，EM⊄平面ABC，∴EM∥平面ABC.(3)由(2)知，EM∥AG，又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD.∴EM⊥平面BCD，又∵EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.在平面BCD中，

5、过M作MN⊥DB交DC于点N，∴MN⊥平面BDE，点N即为所求的点，△DMN∽△DCB，∴＝，即＝，∴DN＝3，∴DN＝DC，∴边DC上存在点N，满足DN＝DC时，有NM⊥平面BDE.