解答题规范专练(五)　平面解析几何

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1、解答题规范专练(五)　平面解析几何1．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．2．(2014·合肥模拟)已知椭圆：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点．若＝＋，点N为线段AB的中点，C，D，求证：

2、NC

3、＋

4、ND

5、＝2.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率e＝.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直

6、线AS，BS与直线l：x＝3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．答案1．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.2．解：(1)由已知可得故所

7、以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1.由＝＋，得M.因为M是椭圆C上一点，所以＋y1＋y22＝1，即2＋＋y2＋2×××＋y1y2＝1，得2＋2＋2×××＋y1y2＝1，故＋y1y2＝0.又线段AB的中点N的坐标为，所以＋22＝＋＋＋y1y2＝1，从而线段AB的中点N，在椭圆＋2y2＝1上．又椭圆＋2y2＝1的两焦点恰为C，D，所以

8、NC

9、＋

10、ND

11、＝2.3．解：(1)由题意得2a＝4，故a＝2，∵e＝＝，∴c＝，b2＝22－()2＝2，∴所求的椭圆方程为＋＝1.(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k>0，故

12、可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M(3,5k)，由得(1＋2k2)·x2＋8k2x＋8k2－4＝0.设S(x1，y1)，则(－2)×x1＝，得x1＝，从而y1＝，即S，又由B(2,0)可得直线SB的方程为＝，化简得y＝－(x－2)，由得，∴N，故

13、MN

14、＝5k＋，又∵k>0，∴

15、MN

16、＝5k＋≥2＝，当且仅当5k＝，即k＝时等号成立．∴k＝时，线段MN的长度取最小值.