高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：解答题规范专练(四)　立体几何.pdf

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1、解答题规范专练(四)　立体几何1．(2015·唐山模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC.(1)求证：A1B⊥AC1；(2)求二面角ABB1C的余弦值．2．(2015·西安二模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC1＝AD＝1，CD＝3.2(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP

2、与BM所成角的余弦值；(3)若二面角MBQC大小为30°，求QM的长．3．(2015·洛阳模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝1，M是线段AD的中点．(1)试在平面ABCD内过M点作出与平面A1B1CD平行的直线l，说明理由，并证明：l⊥平面AA1D1D；15(2)若(1)中的直线l交直线AC于点N，且二面角AA1NM的余弦值为，求AA1的5长．答案1．解：(1)证明：因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.又BC⊥AC，A1O∩AC＝O，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC.因为A

3、A1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C，又A1C∩BC＝C，所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1.(2)以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，3)．AB＝(2,2,0)，BB＝CC＝(0,1，3)，CB＝(2,0,0)11设m＝(x，y，z)是平面ABB1的一个法向量，则m·AB＝0，m·BB＝0，1即Error!取m＝(3，－3，1)．同理设平面

4、CBB1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)．即Error!则n·BB＝0，n·CB＝0.1取m＝(0，－3，1)m·n27因为cos〈m，n〉＝＝，

5、m

6、

7、n

8、727所以二面角ABB1C的余弦值为.712．解：(1)证明：法一：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，2∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ.∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB.∴平面PQB⊥平面PAD.

9、1法二：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，2∴BC∥DQ且BC＝DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ.∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.∵PA＝PD，∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PBQ.∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.(2)∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原点，QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Qxyz，则Q(0,

10、0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，3)，B(0，，30)，C(－1，，30)．133∵M是PC中点，∴M－，，，(222)133∴AP＝(－1,0，3)，BM＝－，－，.(222)设异面直线AP与BM所成角为θ，·27则cosθ＝

11、cos〈AP，BM〉

12、＝＝，

13、

14、

15、

16、

17、

18、727∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为.7(3)由(2)知平面BQC的法向量为n＝(0,0,1)，由QM＝λQP＋(1－λ)QC,0≤λ≤1，得QM＝(λ－1，3(1

19、－λ)，3λ)．又QB＝(0，，30)，设平面MBQ的法向量为m＝(x，y，z)，则Error!即Error!1－λ取x＝3，则y＝0，z＝，λ1－λ∴平面MBQ的法向量为m＝3，0，.(λ)∵二面角MBQC为30°，n·m3∴cos30°＝＝，

20、

21、n

22、

23、m

24、

25、2139∴λ＝.∴

26、QM

27、＝.443．解：(1)在平面ABCD内过M点作直线l∥DC，∵l⊄平面A1B1CD，DC⊂平面A1B1CD，∴l∥平面A1B1CD.在长方体ABCDA1B1C1D1中，DC⊥AD，DC⊥DD1，则l⊥AD，l⊥DD1.又AD

28、∩DD1＝D，∴l⊥平面AA1D1D.(2)由(1)知，l∥DC且M是线段AD的中点，∴N是线段AC的中点．设AA1＝h，以A1为坐标原点，分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴，311建立空间直角坐标系A1xyz.则A1(0,0,0)，A(0,0，h)，N，，h，M0，，h.(22)(2)∴AA＝(0,0，h)，131