初中数学辅导2013中考总结复习冲刺专题初中数学“最值

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1、京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班2013中考总结复习冲刺练：“最值问题”集锦冲刺练由京翰教育一对一家教辅导(http://www.zgjhjy.com)整理●平面几何中的最值问题…………………01●几何的定值与最值………………………07●最短路线问题……………………………14●对称问题…………………………………18●巧作“对称点”妙解最值题……………22●数学最值题的常用解法…………………　26●求最值问题………………………………　29●有理数的一题多解………………………　34●4道经典题………

2、………………………　37●平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各

3、点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。分析：在直线L上任取一点P’，连结AP’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班取点A关于直线L的对

4、称点A’，则AP’＝AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．　　解作DE⊥AB于E，则　x2=BD2=AB·

5、BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以　　　　　2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．2.如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有       2x+2y+πx=8，京翰教育初中家教——

6、专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．　　设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证P

7、A+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．4如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．　　证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．京翰教育初中家教——专业对初中学

8、生开设针对性的初三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以　　△ADN∽△BDM，又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以