难点02 导数与不等式相结合问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（解析版）

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1、导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者.1.利用导数证明不等式在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有

2、些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.1.1利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式例1.【河南省安阳一中2015届高三第一次月考21】已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.(1)求的值及函数的极值；(2)证明：当时，．思路分析：(1)利用导数的几何意义求得，再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不

3、一样的教育！1.2通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.例2.【江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试19】设函数，曲线在点（1，处的切线为.(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：.思路分析：(Ⅰ)由曲线在点（1，处的切线为可知，求出函数的导函数，可得到关于a,b的一个二元方程组，解之即可得到a,b的值；（Ⅱ）由(Ⅰ)得,从而等价于;在分别利用导数求函数的

4、最小值，和函数的最大值；从而就可证明不等式成立，即成立．8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！1.3多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.【冀州中学高三上学期第一次月考，理21】已知函数。[来源:Z+xx+k.Com]（1)已知函数f(x)在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0

5、明：思路分析：（1）由已知可得，由于函数在点处与轴相切，又直线轴的斜率为0，根据导数的几何意义，所以有，从而可求出实数的值；（2）因为，所以有必要对的取值范围进行分类讨论.当时，有，此时函数在上单调递增；当时，有，由得，由，得，此时函数在上单调递增，在8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！上单调递减.（3）由（1）知，得，对于任意的，可化为，即，[来源:Zxxk.Com]由（2）知，函数在上单调递减，且，于是上式成立.故对于任意的，成立.8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2.利用导数

6、求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．：例4．设函数，．（1）记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；（2）若，对任意的，不等式恒成立．求（，）的值．思路分析：（1）先利用不等式整得，所以，设，用求导的方法求出；（2）由，得，设函数=，由题意可判断在递增，所以恒成立，转化为恒成立，

7、下面只需求.8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3.利用导数解不等式通过构造函数，利用函数的单调性得到不等式的解集.例5.【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试10】已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为()A．B．C．D．思路分析：因为的解析式不确定，由，结合所求不等式的形式，想到构造函数，则，故单调递减，由，则不等式解集为解析：不等式可化为，令，则，因为8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！综合上述五种题型，无论不等式的证明、解不

8、等式，还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.[来源:学_科_网][来源:学科网][来源:学.科.网]8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！8汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！