晶格振动-3.1简谐震动简正坐标

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1、第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动:原子在格点附近的振动。热学性质杜隆－珀替经验规律：一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量3Nk＝3R（经典理论结果）；但在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降。实际上：晶格振动还是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础；晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等都有密切关系晶格中原子间存在相互作用力，各原子振动相互联系着的，在晶体中形成了各种模式的波简谐近似下，这些模式是相互独立的这些谐振子的能量量子，称为声子；晶格振动的总体可看作是声

2、子的系综由于晶格周期性，模式所取的能量值是分立的；用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式§3.1简谐近似和简正坐标简谐近似:只考虑最近邻原子之间的相互作用，将原子在平衡位置的振动看成简谐振动（线性近似）研究对象:由N个质量为m的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量原子的瞬时位置：第n个原子的平衡位置（格点位置）3个方向上的分量原子位移宗量N个原子的位移矢量共有3N个分量N个原子体系的势能函数:（用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展开取平衡位置——不计高阶项系统的势能函数系统的哈密顿量系统的势能函数系统的动能函数应用上式求解系统的问题，

3、由于存在坐标的交叉项而变得非常困难引入简正坐标（原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来）系统的哈密顿量：拉格朗日函数：正则动量：由于动能为正定的，根据线性代数理论，总可以找到这样的变换，使得系统的哈密顿量正则方程3N个独立的方程简正坐标方程解正则动量只考察某一个振动模固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通过引入简正坐标，而将系统简化为3N个相互独立的震动模式。简正振动：晶体中所有原子参与振动，振动频率相同振动模：简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动正则动量算符系统薛定谔方程相关量子理论任意一个简正坐标——谐振子方程能量本征值本征态函数

4、—厄密多项式系统能量本征值系统本征态函数N个原子组成的晶体系统薛定谔方程同样是建立在简正坐标的基础上的！