简谐近似和简正坐标

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1、固体物理SolidStatePhysics§3.1简谐近似和简正坐标第三章晶格振动第三章晶格振动与晶体的热学性质简谐近似一维单原子链一维双原子链三维晶格振动确定晶格振动谱的试验方法晶格动力学固体的热学性质固体比热容的爱因斯坦模型固体比热容的德拜模型固体中热现象的研究历史热的本质？热质说：认为热是一种物质，不生不灭。可以在火中存在，也可以流动到别的物质中。使之发热。但是，热质说不能解释摩擦生热的现象。在18世纪以后，渐渐有另一种观点来解释热现象，即认为热不是一种流质，而是物质运动的一种表现。1842年，德国医生

2、迈尔（JuliusRobertMayer)提出了能量守恒学说，认为热是一种能量，可以和机械能互相转换。19世纪中叶，焦耳（JamesPrescottJoule）研究多种能量形式的转换，为能量守恒和转换定律提供了试验基础。热的本质：热是构成物质系统的大量微观粒子无规则混乱运动的宏观表现。晶格振动的研究——晶体的热学性质固体热容量——热运动是晶体宏观性质的表现杜隆－珀替经验规律一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量总的内能晶格振动——研究固体宏观性质和微观过程

3、的重要基础晶格振动——晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系——实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降摩尔热容量——与温度无关——杜隆－珀替经验规律原子的振动——晶格振动在晶体中形成了各种模式的波——简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和——这些谐振子的能量量子，称为声子——晶格振动的总体可看作是声子的系综——用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式——这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的§3.1简谐近似和简正坐标简谐近似——只考

4、虑最近邻原子之间的相互作用研究对象——由N个质量为m的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量原子的位置第n个原子的平衡位置3个方向上的分量原子位移宗量N个原子的位移矢量——体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开取平衡位置——不计高阶项系统的势能函数系统的哈密顿量系统的势能函数系统的动能函数——含有坐标的交叉项引入简正坐标——原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换系统的哈密顿量拉格朗日函数正则动量系统的哈密顿量正则方程——3N个独立无关的方程简正坐标方程解简正振动——所有原子参与的振动，振动频率

5、相同振动模——简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动正则动量只考察某一个振动模系统能量本征值计算正则动量算符系统薛定谔方程任意一个简正坐标——谐振子方程能量本征值本征态函数—厄密多项式系统能量本征值系统本征态函数N个原子组成的晶体系统薛定谔方程