简谐震动简正坐标(0301)

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1、第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动的研究——这里是为了研究晶体的热学性质固体热容量——晶体的重要热学性质（宏观）杜隆－珀替经验规律——一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量3Nk＝3R（经典理论结果，与实验不符合）——在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降（不是常量）实际上：晶格振动——还是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础——晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等都有密切关系物理背景和固体物理中解决问题的思路：原子的振动——晶格振动在晶体

2、中形成了各种模式的波——简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和——这些谐振子的能量量子，称为声子——晶格振动的总体可看作是声子的系综——用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式——这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的§3.1简谐近似和简正坐标简谐近似——将原子在平衡位置的振动看成简谐振动（线性近似），并且只考虑最近邻原子之间的相互作用研究对象——由N个质量为m的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量原子的瞬时位置：第n个原子的平衡位置（格点位置）3个方向上的分量原子位移宗量N个原子的位移矢

3、量N个原子体系的势能函数:（用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展开取平衡位置——不计高阶项系统的势能函数系统的哈密顿量系统的势能函数系统的动能函数引入简正坐标（原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换（实际上是存在！）系统的哈密顿量：拉格朗日函数：正则动量：系统的哈密顿量正则方程——3N个独立的方程简正坐标方程解简正振动——晶体中所有原子参与振动，振动频率相同振动模——简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动正则动量只考察某一个振动模可以看出：1.固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通过引入简正坐标，

4、而将系统简化为3N个相互独立的震动模式。2.之所以能有采取“简谐近似”，或者说之所以“简谐近似”有效，是因为晶体中原子实际是在平衡位置附近做微小的振动，使得能够进行这种线性的近似！这种“脱耦”的方法在具有相互作用的多粒子体系中十分的常用（处理低激发态时的常用方法）正则动量算符系统薛定谔方程相关量子理论任意一个简正坐标——谐振子方程能量本征值本征态函数—厄密多项式系统能量本征值系统本征态函数N个原子组成的晶体系统薛定谔方程同样是建立在简正坐标的基础上的！