根轨迹的基本规律及绘制

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1、第四章线性系统的根轨迹法第二节根轨迹的基本规律及绘制10/8/2021项目内容教学目的掌握根轨迹的八个规律，并在此基础上绘制根轨迹（手工和MATLAB）教学重点根轨迹八个规律的内容。教学难点八个规律的证明，根轨迹的手工绘制。讲授技巧及注意事项运用数学公式推导、图形的辅助说明进行分析。4-2根轨迹的基本规律及绘制10/8/2021一、根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律从以下8个方面进行讨论：1、根轨迹的起始点与终止点；4、根轨迹的渐近线；2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；3、实轴上的根轨迹；5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；6、根轨迹的起始角和终止角(复数零极点)；7、

2、根轨迹与虚轴的交点；8、根之和。10/8/2021特征方程可写为：规律一根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。10/8/20211．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。讨论：2．当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹10/

3、8/2021根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止于开环零点(K*→∞)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处。结论：10/8/2021规律二根轨迹的连续性、对称性和分支数根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数n。(根轨迹描述特征根的变化规律)根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的)根轨迹总是对称于实轴。(实际的物理系统的参数都是实数→数学模型的系数是实数→特征根不是实数就是共轭复数)结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数等于系统特征方程的次数

4、。10/8/2021规律三实轴上的根轨迹设系统的开环传递函数其中p1、p2、p3、z1、z2为实极点和实零点，p3、p4、z3、z4为共轭复数零、极点。若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根轨迹上。10/8/2021只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ5φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3σS0点符合相角条件：每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2π；实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和π两种情况。10/8/2021规律四渐近线当开环极点数n大于开

5、环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，反应n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点(对称性)。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：10/8/2021证明：思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。10/8/2021多项式除法10/8/2021证明：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。10/8/2021当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：10/8/2021由二项式定理当s值非常

6、大时，近似有10/8/202110/8/2021令实部和虚部分别相等②÷①得：点斜式方程10/8/2021渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：10/8/2021例已知系统的开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。解该系统n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点为它们与实轴正方向的夹角分别是10/8/2021根轨迹的渐近线swj-4-3-2-10BCAas°60°-60°300as°18010/8/2021四种情况下的渐近线10/8/2021规律五根轨迹的分离点和分离角两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。常见的

7、根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上。10/8/2021实轴上的分离点复平面上的分离点swj-4-3-2-10分离点swj4p3p1p2pAB0[s]d1d2C[s]分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。10/8/2021分离点的坐标d是下列方程的解：证明：闭环特征方程有重根的条件为：变换形式②÷①10/8/202110/8/20211、当开环系统无有限零点时，应取分离点方程为。2、只有那