系统的可观测性自用

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1、动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。§2.2系统的可观测性1.可观性的直观讨论状态可观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y(t)和输入u(t)来确定或识别系统状态的能力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是可观的,或者更确切地说,是状态可观的。否则,就称系统为状态不完全可观的。一.线性定常系统

2、的可观测性及其判据例2.2.1给定系统的状态空间模型与结构图分别为本例中,输出变量y(t)即为状态变量x1(t)，因此,由y(t)的测量值可直接得到x1(t)的值,即状态变量x1(t)可由输出唯一确定。1/s-2-11/s而由状态变量x2(t)所满足的状态方程及其运动状态的解可知,x2(t)的运动轨迹由x2(t)的初始状态x2(t0),x1(t)和输入u(t)三者共同决定。因此,由测量到的输出y(t)和输入u(t)并不能唯一确定出状态变量x2(t)的值,即状态x2(t)是状态不能观的。因此,整个系统的状态是不完全能观的。2．可

3、观性定义1）系统完全可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输入和输出能唯一确定状态向量的初值，则称系统在内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切系统都是可观测的，则称系统在内是完全可观测的。对时不变系统同样适用2）．系统不可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输入和输出不能唯一确定所有状态的初值（至少有一个状态的初值不能被确定），则称系统在内是不完全可观测的，简称不可观测。考虑输入u＝0时系统的状态方程和输出方程其中，x为n维状态向量；y为q维输出向量；

4、A和C分别为n×n和q×n的常值矩阵。3.线性定常连续系统的可观测性判据1）格拉姆矩阵判据线性定常连续系统完全可观测的充要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。证明充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。由式可得将式左乘，然后从0到积分得已知M（0，t1）非奇异，即M-1（0，t1）存在，故由式得这表明，在M（0，t1）非奇异条件下，总可以根据[0,t1]上的输出y（t）唯一地确定非零初始状态x0。因此，系统为完全可观测。充分性得证。证明充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。

5、由式可得将式左乘，然后从0到积分得显然，为状态空间中的不客观状态。必要性：系统完全可观测，欲证M（0，t1）非奇异。采用反证法。反设M（0，t1）奇异，假设存在某一非零初始状态成立，这意味着这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。2）秩判据线性定常连续系统完全可观测的充要条件是或式和式中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。证明从式出发，进一步论证秩判据的充要条件。由式，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得证明以下从式出发，进一步论证秩判据的充要条件。由式，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得

6、由于线性无关，故由唯一确定。由被下式唯一确定得证例2.2.2判断下列系统的可观测性解故系统不可观测。故系统可观测。3）PBH秩判据线性定常连续系统完全可观测的充要条件是，对矩阵A的所有特征值λ1,λ2,…,λn，均有或等价地表示为即(sI–A)和C是右互质的4）PBH特征向量判据线性定常连续系统完全可观测的充要条件是，A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量,即对A的任一特征值λ1,λ2,…,λn使同时满足的特征向量α≡0。矩阵之间满足如下关系*对偶性定义：对连续时间线性时变系统其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系

7、统其中,状态X为n维行向量,协状态Ψ为n维行向量输入u为p维列向量,输入η为q维行向量输出Y为q维列向量,输出φ为p维行向量结论1:原构系统的状态转移矩阵与对偶系统的状态转移1/2,25/45结论2设Σ为原构线性系统,Σd为对偶线性系统,则有Σ完全能控Σd完全能观测Σ完全能观测Σd完全能控2/2,26/455）约当规范型判据系统完全可观测的充要条件分两种情况：⑴矩阵A的特征值λ1,λ2,…,λn是两两相异的。由线性变换可将式变为对角规范型⑵矩阵A的特征值为由线性变换可将式化为约当规范型式中不包含元素为零的列。其中的第一列所组成

8、的矩阵对i=1,2,…,l均为列线性无关例2.2.3已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。解显然，此规范型中不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。例2.2.4已知系统的约当规范型为解根据判断法则可定出下列矩阵它们都是列线性无关的，并且的元素不全为零，故系统