2002年高考数学广东卷(理科)-带答案

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2002年高考数学广东卷（理科）第1卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．（1）函数的最小正周期是（A）（B）p（C）2p（D）4p（2）圆(x－1)2＋y2=1的圆心到直线y=x的距离是（A）（B）（C）1（D）（3）不等式(1＋x)(1－)＞0的解集是（A）｛0≤x≤1｝（B）｛x＜0且x≠－1｝（C）｛－1＜x＜1｝（D）｛x＜1且x≠－1｝（4）在(0，2p)内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（A）(，)∪(p，)（B）(，p)（C）(，)（D）(，p)∪(，)（5）设集合M=，N=，则（A）M=N（B）MÌN（C）MÉN（D）M∩N=f（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）（B）（C）（D）－（7）函数f(x)=x＋b是奇函数的充要条件是（A）ab=0（B）a＋b=0（C）a=b（D）a2＋b2=0（8）已知0＜x＜y＜a＜1则有（A）loga(xy)＜0（B）0＜loga(xy)＜1（C）1＜loga(xy)＜2（D）loga(xy)＞2-10- （9）函数（A）在(－1，＋∞)内单调递增（B）在(－1，＋∞)内单调递减（C）在(1，＋∞)内单调递增（D）在(1，＋∞)内单调递减（10）极坐标方程r=comq与rcom=的图形是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议（政府工作报告）：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%．”如果“十五”期间（2001—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值为（A）115000亿（B）120000亿（C）127000亿（D）135000亿第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）椭圆5x2＋ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=_________．（14）(x2＋1)(x－2)7的展开式中x3项的系数是_____________．（15）已知sina=cos2a(a∈(，p))，则tga=_______（16）已知f(x)=，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()=_____．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知复数z=1＋i，求实数a，b使az＋2b=(a＋2z)2．-10- （18）（本小题满分12分）设｛an｝为等差数列，｛bn｝不等比数列，a1=b1=1，a2＋a4=b3，b2b4=a3，分别求出｛an｝及｛bn｝的前10项的和S10及T10（19）（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABC（D）（I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．-10- （20）（本小题满分12分）设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．（I）求直线AB的方程（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？（21）（本小题满分12分，附加题4分）（I）给出两块面积相同的正三角形纸面（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小；（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，主设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．-10- （22）（本小题满分14分）已知a＞0，函数f(x)=ax－bx2（I）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2；（II）当b＞1时，对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件是b－1≤a≤；（III）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件．-10- 参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）C（2）A（3）D（4）C（5）B（6）C（7）D（8）D（9）C（10）B（11）B（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。（13）1（14）1008（15）（16）三、解答题（17）满分12分解：∵z=1＋i，∴因为a，b都是实数，所以由得两式相加，整理得a2＋6a＋8=0解得a1=－2，a2=－4对应得b1=－1，b2=2所以，所求实数为a=－2，b=－1或a=－4，b=2（18）满分12分解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2＋a4=2a3，已知a2＋a4=b3，b2b4=a3，∴b3=2a3，-10- 得∵b3≠0∴由a1=1，知{an}的公差为∴由b1=1，知{bn}的公比为或。当时，，当时，。（19）满分12分。（I）解：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB，∴PA⊥DA，∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∴∠PAB=60°而PB是四棱锥P－ABCD的高，PB=AB·∴（II）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形。作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE△CDE，∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角。设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，∴在△AEC中，-10- 所以，面PAD与PCD所成的二面角恒大于90°。（20）满分12分。解：（I）依题意，可设直线AB的方程为y=k(x－1)＋2，代入，整理得①记A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2则是方程①的两个不同的根，所以2－k2≠0，且，由N(1，2)是AB的中点得，∴k(2－k)=2－k2，解得k=1，所以直线AB的方程为y=x＋1（II）将k=1代入方程①得x2－2x－3=0解出x1=－1，x2=3由y=x＋1得y1=0，y2=4。即A、B的坐标分别为(－1，0)和(3，4)。由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y=－(x－1)＋2，即y=3－x。代入双曲线方程，整理得x2＋6x－11=0。②记C(x3，y3)，D(x4，y4)，以及CD的中点为M(x0，y0)，则x3，x4是方程②的两个根。所以x3＋x4=－6，x3x4=－11。从而∴-10- 又即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。（21）满分12分，附加题4分。解：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱椎。如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角。余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。（II）依上面剪拼的方法，有V柱＞V锥。推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，现在计算它们的高：∴所以V柱＞V锥。（III）（附加题，满分4分）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱的模型。（22）满分14分。（I）证：依设，对任意x∈R，都有f(x)≤1，-10- ∵f(x)=，∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2。（II）证：必要性对任意x∈[0，1]，≤1Þ－1≤f(x)，据此可以推出－1≤f(1)，即a－b≥－1，∴a≥b－1；对任意x∈[0，1]，≤1Þf(x)≤1，因为b＞1，可以推出≤1，即a·－1≤1，∴a≤2；∴b－1≤a≤2。充分性因为b＞1，a≥b，对任意x∈[0，1]，可以推出ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1；因为b＞1，a≤2，对任意x∈[0，1]，可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1，即ax－bx2≤1，∴－1≤f(x)≤1。综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件是b－1≤a≤。（III）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]；f(x)=ax－bx2≥－b≥1，即f(x)≥－1；f(x)≤1Þf(1)≤1Þa－b≤1，即a≤b＋1，a≤b＋1Þf(x)≤(b＋1)x－bx2≤1，即f(x)≤1。所以，当a＞0，1＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件是a≤b＋1-10-