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1、7-7 空间向量的坐标运算一、选择题1.已知▱ABCD,且A(4,1,3)、B(2,-5,1)、C(3,7,-5),则顶点D的坐标为( ) A.(,4,-1)B.(2,3,1)C.(-3,1,5)D.(5,13,-3)解析:,设=(x,y,z),则(7,8,-2)=(x+2,y-5,z+1),∴x=5,y=13,z=-3,即=(5,13,-3).答案:D2.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7),则△ABC的重心坐标为( )A.(6,,3)B.(4,,2)C.(8,
2、,4)D.(2,,1)解析:△ABC的重心坐标为x==4,y==,z==2.答案:B3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),cos〈a,b〉=,则λ等于( )A.2B.-2C.-2或D.2或-解析:
3、a
4、=,
5、b
6、=3,a·b=6-λ,根据已知条件=,解得λ=-2,或λ=.答案:C4.已知两空间向量a=(2,cosθ,sinθ),b=(sinθ,2,cosθ),则a+b与a-b的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,∴〈a+b,a-b〉=90°.答案:D二、填空题5.与A(-1,2,3)、B(0,0,5)
7、两点距离相等的点满足的等式为________.解析:设到A、B两点距离相等的点为P(x,y,z),由
8、PA
9、=
10、PB
11、,即(x+1)2+(y-2)2+(z-3)2=x2+y2+(z-5)2,整理得:2x-4y+4z-11=0.答案:2x-4y+4z-11=06.已知向量a=(-1,2,3),b=(1,1,1),则向量a在向量b方向上的投影为________.解析:b·a=(1,1,1)·(-1,2,3)=,则a在向量b上的投影为.答案:7.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为________.解析:
12、a
13、==3,
14、b
15、==3,a·b=
16、2×2+(-1)×2+2×1=4,∴cos〈a,b〉==,sin〈a,b〉=,S平行四边形=
17、a
18、
19、b
20、sin〈a,b〉=.答案:三、解答题8.如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.解答:(1)如右图,建立直角坐标系A-xyz,则P(0,0,2),B(,0,0),C(,1,0)∴=(,1,0),=(,0,-2),cos〈〉==,则直线AC与PB所成角的余弦值为.(2)设N(x,0,z)
21、又E(0,,1),∴=(x,-,z-1).由=0,得2(z-1)=0,由=0,得x-=0,解得:x=,z=1,因此N点到AB和AP的距离分别为1,.9.如右图,点P,E,F在矩形ABCD所在平面外,PC⊥平面ABCD于C,EB⊥平面ABCD于B,FD⊥平面ABCD于D,AB=4,BC=2,PC=6,BE=DF且四边形AEPF是平行四边形.(1)建立适当坐标系,求点E、F的坐标;(2)求平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小.解答:如右图,建立空间直角坐标系.(1)P(0,0,6),A(4,2,0),设BE=DF=m,则E(0,2,m),F(4,0,m),∴=(0,0
22、,6)-(0,2,m)=(0,-2,6-m),=(4,0,m)-(4,2,0)=(0,-2,m),∵四边形AEPF是平行四边形,∴,∴6-m=m,即m=3,∴E(0,2,3),F(4,0,3).(2)∵=(0,-2,3),=(0,2,3)-(4,2,0)=(-4,0,3),设平面AEPF的法向量n1=(x,y,z),∵n1⊥,∴(x,y,z)·(0,-2,3)=0即-2y+3z=0,∵n1⊥,∴(x,y,z)·(-4,0,3)=0即-4x+3z=0.令z=4得y=6,x=3,∴n1=(3,6,4),显然平面PEBC的法向量n2=(1,0,0).∵n1·n2=(3,6,4)·(1,
23、0,0)=3,
24、n1
25、==,
26、n2
27、=1,∴cos〈n1,n2〉===,∴平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小是arccos.10.如右图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于E,F为A1B1的中点.(1)求异面直线AE与BF所成的角;(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小;(3)求点A到平面BDF的距离.解答:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在直线为