五种迭代法解非线性方程

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1、题目:用五种迭代法解非线性方程学生姓名：崔敬轩学号：2015210458专业班级：电气工程7班指导教师：王承竞2015年11月7日11二分法1.1迭代思想零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使[1]fξ=0（1-1）二分法通过以下方式利用这一思想：若f(a)f(b)<0，则计算c=，并进行检验，若f(a)f(c)<0，则f(x)在[a,c]内有零点；若f(a)f(c)>0（即f(c

2、)f(b)<0），则f(x)在[c,b]内有零点。这样，将b或a代换成c，就得到了包含f(x)的零点的一个新的区间[a,b]，按一定条件，重复这个过程，便可以得到较为接近真[2]实解r的近似解c值。1.2算法误差*

3、cn-x

4、≤(bn-an)=(bn-1-an-1)=···=(b0-a0)<ε（1-2）⇒2>ε⇒n>[ln]-1（1-3）ε式（1-2）说明二分法求解误差与迭代次数n和初始迭代区间端点a、b有关，迭代次数越多，初始迭代区间越小，误

5、差越小。式（1-3）说明迭代次数需大于某数值才能获得较为准确的解。1.3优点、缺点1.3.1优点①理论简单，编程容易；②能够比较准确地求解规定精度的数值解；③对函数的光滑性要求低，区间指数缩减。1.3.2缺点①局部收敛速度慢，特别是收敛区间为[0,1]；②不能解决重根问题，不方便解决同一收敛区间多个根的问题。21.4基于Matlab的数值试验1.4.1计算平台：①CPU（2.50GHz）、②RAM（4.00GB）、③OS（Windows7旗舰版）1.4.2参数设置：编写的m文件可在程序初始化运行时

6、键入自变量限界δ、函数值限界ε以及最大迭代步数M，在数值试验过程中，将δ赋值为0.0001，ε赋值为0.0001，M赋值为100。1.4.3计算结果（程序代码详见附录Ⅰ）2432x2x非线性方程x10x2x4x100x2xee0tanxx0计算结果0.9999851.9999699.9999620.046875迭代步数1616174计算时间0.078001s0.140401s0.140401s0.109201s2（1）x1043[3]（2）x2x4x1002x2x

7、[4]（3）x2xee03[5]（4）tanxx01.4.4分析改进2①对x10进行分析，发现经试验得到的解只有一个x1，而对另一个解x1试验并没有求得，这是因为试验中输入的区间为[0,10]，但即使将区间扩大至将两解都包含在内，仍然无法求到负根，这是由于算法本身决定的；43②对x2x4x100进行分析，发现迭代结果为x2，而将结果回带到43原方程函数fx()x2x4x10，发现f(2)180，而迭代次数M16100，43经solvex(2*x4

8、*x10)演算，发现线性方程的4个解均为复数，推测试验解x2的得出可能是程序只考虑了fx()的4次项和3次项，而未对低次项进行考虑并且定义域区间为[2,2]也可能在一定程度上制约了方程求解的结果；2x2x③对x2xee0进行分析，发现试验解x10回带后，得8f(10)4.856110，这基本可以判断为计算错误，经22x2xsolvex(2**xexpx()exp(2*))x演算，x2xee0的解为lambertw0,1，即0.5671，再观察实验输入的自定

9、义区间[0,10]并不包含真实4解，所以出现了这个错误，说明自定义的区间[,]ab的确定直接关系到解的好坏，而在预先不知道真实解得情况，这个区间难于确定，只能通过扩大[,]ab的范围来减少这个问题的出现频率，但自定义区间[,]ab长度的增加势必会增加迭代次数M和计算时间t，那么平衡[,]ab和M的关系就变得很重要了，在此之前，只能通过大区间、多迭代来在一定程度上防止迭代错误的出现；④对tanxx0进行分析，试验结果x0.05，因为考虑到tanxx0存在无穷多解，所以在试验中，所取定义域区

10、间为[0,1.5]，但所得的解只为接近于0的解，原则上在[0,1.5]上还应有另一个解，在经solve('tanx-x')演算后，只得到x0的解，没有得到期望的无穷多个解，这可能是Matlab自身默认设置决定的。52牛顿法2.1迭代思想过非线性函数曲线f(x)上点（x,f(x)）作曲线f(x)的切线交x轴于点x，然后再由(x,f(x))作f(x)的切线，如此不断作线性处理，逼近真实解。解高阶非线性方程f(x)=0，设根为r，则f(r)=0，因不好直接解出r，故令靠近r的