材料力学第十二章压杆稳定

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1、第十二章压杆稳定沈阳建筑大学侯祥林刘杰民第十二章压杆稳定§12–1压杆稳定的概念§12–3临界应力·欧拉公式的适用范围§12–2压杆临界力的欧拉公式§12–4超过比例极限的临界应力§12–5压杆稳定的实用计算§12–1压杆稳定的概念受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平衡状态的能力称其为稳定性。轴向受压的等截面直杆称为理想压杆。干扰力图示为两端铰支的理想压杆。干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线状态的

2、平衡是稳定平衡。干扰力干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。干扰力压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为失去稳定，或简称失稳。压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压力称为压杆的临界力，用Pcr表示之。压杆工作时决不允许失稳。§12–2压杆临界力的欧拉公式xyl由平衡方程得：（a）挠曲线近似微分方程为（b）将式（a）代入式（b）得（c）令，

3、得微分方程：l通解为：由x=0，y=0；得B=0，于是由x=l，y=0；得:若A=0，则y≡0，挠曲线为直线，无意义，只能于是得：由式得：此解最小者为压杆的临界力，但n=0，Pcr=0，无意义，故取n=1。即这就是两端铰支压杆临界力的欧拉公式。其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：其中称为杆的长度系数。杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。ll两端铰支一端固定一端自由一端固定一端铰支两端固定ll约束情况长度系数压杆形状l1.3l1.7l2l（a）（b）（c）

4、【例12-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。解：（d）杆临界力最大。§12–3临界应力·欧拉公式的适用范围临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。令，i为截面对中性轴的惯性半径。引入记号：称为压杆的柔度（或长细比）。（a）式改写为：一、临界应力二、欧拉公式的适用范围上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即取cr=P时的柔度值

5、为P，则有因此，欧拉公式的适用范围为式中P是判断欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为判别柔度。≥P的压杆称为大柔度杆，或细长杆。只有大柔度杆才能用欧拉公式求解。【例12-2】图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。1.5mPyz10040【解】因≥P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：【例12-3】图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。lPd【解】【例12-

6、4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xoz平面内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。试求此压杆的临界力。1mzy2060Pzxo【解】1mzy2060Pzxo压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。压杆临界力为§12–4超过比例极限的临界应力一、超过比例极限后压杆的临界应力当≥P时，可用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应力，当﹤P时，压杆的临界力和临界应力的计算，目前尚没有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式计算压杆的

7、临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线经验公式。即式中a，b是与材料性质有关的常数，例如A3钢，a=304MPa，b=1.12MPa。临界应力必须小于屈服极限，即cr﹤s，当cr=s时，压杆发生屈服破坏，属强度问题。若以s表示对应于cr=s时的柔度，则有二、临界应力总图压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即cr－曲线，称为临界应力总图。临界应力总图§12–5压杆稳定的实用计算可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件：式中nw为稳定安全系数。将代入上式，得当给出稳定安全系数时，可

8、用上式进行稳定计算。若给出压杆容许应力[]，则即或式中称为稳定系数，或折减系数。稳定系数与压杆的材料、柔度有关。各种材料的稳定系数可查表获得。【例12-5】两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知材料的E=200GPa，P=200MPa。直线经验公式为cr=304-1.12(MPa)。若取稳定安全系数nw=3，试确定容许压力。600P3020zy【解】因﹥P，欧拉公式适用。【例12-6】图示为型号22a的工字钢压杆，材料A3钢。已知压力P=280kN，容许应力[]=160M