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1、对称非线性弹簧振子的周期特性倪亚贤,董慎行()苏州大学物理系,江苏苏州215006()摘要:通过计算机编程QuickBasic描绘对称非线性弹簧振子振动的特性曲线,使难懂的物理过程变得直观、形象.对称非线性弹簧振子的振动是一种周期性振动,但不是严格的简谐振动,其振动周期随非线性系数、振幅的变化而偏离简谐振动的周期.关键词:非线性;弹簧振子;简谐振动;振动周期()文章编号:10002071220030420022203中图分类号:O322文献标识码:A1引言(任何一个物理量物体的位置、电流强度、电压、电)场强度、磁场
2、强度等在某一定值附近的反复变化都称为振动.简谐振动是最简单、最基本的振动,而弹簧振子是最常见的简谐振动.弹簧振子的恢复力与位移成正比,方向总是指向平衡位置,如下式所示:()1f=-kx实际上只有当位移不很大时,这种线性关系才成立.当位移较大时,尽管在弹性形变范围内,恢复力与[1]位移之间将呈现非线性关系:23()f=-kx-kx-kx+?2123图1对称非线性弹簧振子恢复力与位移的关系当k=0,k?0时,恢复力在松弛点两边还是对23称的.当k<0,恢复力比线性关系所预期的值小,称为3,具有简谐振动的特征.而当振幅和
3、非线性项大致相同非线性软弹簧.当k>0,恢复力比线性关系所预期的33x的系数
4、k′
5、逐渐增大,恢复力逐渐偏离线性,振动将值大,称为非线性硬弹簧,在这样的恢复力作用下,振不再是严格的简谐振动.k>′0,保守力具有渐硬特性子的运动仍是周期性的.下面讨论k?0,k=0,k?123非线性.k<′0,保守力具有渐软特性非线性.0的情况,非线性弹簧振子的恢复力3f=-kx-kx′()32对称非线性弹簧振子的振动曲线它与位移的关系可以通过QuickBasic编程,演示其动[1]态的绘图过程,如图1所示.由于非线性微分方程除少数可
6、以求出精确的解从图1可以看出,对称非线性弹簧振子的恢复力,目前还没有适用于各类方程的通用的精确解析法,外确实仍具有对称性,振子运动对称地分布在平衡位置因此大部分只能借助计算机按所需精度求数值解,或[1]两侧.在振幅不大的情况下,与线性弹簧振子的恢复力用近似方法求解,如微扰法、渐近法、相平面法收稿日期:2001-09-17;修回日期:2002-06-10()基金项目:苏州大学青年教师基金资助项目Q3108221()作者简介:倪亚贤1978—,女,江苏南通人,苏州大学物理系硕士生.[2],比线性弹簧振子的抛物线陡.当k
7、′振子能量有所增大?.本文主要采用计算机进行数值计算描点来呈<0,软弹簧势能曲线也对称,但能量较线性时来得小.非线性振动的特性.当振幅不大时,三条势能曲线差别不大,近似重叠,因对称非线性弹簧振子的振动曲线方程为3x?+kx+kx′=0()m4此,小振幅时,弹簧振子的振动可以近似看作简谐振是一个二阶非线性微分方程,难于求得解析解.我们动.以采用欧拉迭代法进行数值求解,通过QuickBasic4对称非线性弹簧振子的振动周期与非线性系数和序绘出振动曲线.为简化计算,设m=1,k=1,并取振幅的关系=′0和
8、k′
9、=0.0
10、00008,对应的振动曲线如图2所.由非线性振子的振动曲线可以发现,非线性系数k对振动周′期有影响.我们可以对其振动方程进行分()析.由振动方程4可知,令m=1,方程化为3()x?+kx+kx′=07在这里
11、k′
12、νk,即非线性项与线性项相比很小时,可以通过近似方法求解,尽管所得解不甚精确,但也能反映非线性振动的主要特征.求解的方法很多,常用的[1]一种是微扰法,也称逐次近似法,这种方法是将恢复图2对称非线性弹簧振子的振动曲线力中的非线性成分看作为附加在线性成分上的一个微()量微扰,振子在这种力作用下的运动也将视为
13、仅在可以看出,对称非线性弹簧振子的振动是周期性,振动曲线与线性振子的振动曲线略有不同,从图中线性力作用下的简谐振动有微小偏离的运动.将这种条曲线也可看出,对于k′=0与k=′?0.000008,偏离运动写成逐项减小的幂级数作为试解代入非线性们的振动周期并不相同.运动方程,按所需精度略去高级小量,从而求得振子运[3]动的解.这个方程也可通过谐波平衡法求解,谐波平对称非线性弹簧振子的势能曲线衡法也是求解非线性振动问题常用的一种近似解析线性振子的势能为法.不论是微扰法还是谐波平衡法,都可以求得系统振[1,3]12系:()
14、E=kx5pω动的频率与非线性系数k和′振幅a的近似关232ωω()=+ka′80势能曲线为抛物线.对称非线性振子的势能为ω80xx2ωω3其中=k,即k对应于线性系统的固有频率的平00()=-fdx=--kx+kx′dx=Ep??00方.对于硬弹簧k>′0,频率上升,随着k增′大,周期T呈1124)(6kx+kx′下降趋势.同理对软弹簧k<′0,频率下降,
