《 线性代数》考试试卷及参考答案(B卷)

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1、一、填空（每空2分，共20分）《线性代数》试卷（A卷）题号一二三四总分分数得分评卷人1.阶行列式中，副对角线上元素的乘积在行列式中的符号为；2.为矩阵，为矩阵，且，则.3.若，则.4.若线性相关，则.5.设是阶矩阵，的特征值是，则的特征值是.6.阶方阵的个特征值为，则这个特征值的乘积等于.7.若阶方阵可通过相似变换化为对角矩阵，则相似变换矩阵是由阶方阵的构成的.8.的秩为.9.一个二次型用不同的可逆线性变换可以化为不同的标准形，这些不同的标准形的是相同的，其和等于该二次型的秩.10.上的线性变换是正

2、交变换的充分必要条件是：在线性变换下，向量的不变.得分评卷人二、单项选择题（每题2分，共10分）1.设为阶方阵，且，则.；或；；.院、部班级姓名学号………………………………………………密………………封………………线…………………………………92.维向量组线性相关的充分必要条件是.中有一个零向量；中任意两个向量的分量成比例；中有一个向量是其余向量的线性组合；中任意一个向量是其余向量的线性组合.3.是的两个不同的解，是其导出组的基础解系，为任意常数，则的通解为.；；；.4.若，则.；；对于相同的特征值，

3、两个矩阵有相同的特征向量；均与同一个对角矩阵相似.5.阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是.方阵的秩等于；有个不全相同的特征值；有个不同的特征向量；有个线性无关的特征向量.得分评卷人三、计算题（共40分）1.（10分）已知，求；92.（15分）求解非齐次线性方程组　3.（15分）用正交变换化二次型为标准形.9得分评卷人四、证明题（共30分）1.（10分）是二阶矩阵，，证明能够对角化.2.（10分）已知是的一个基础解系，证明也是该方程组的一个基础解系.3.（10分）正交向量组是线性无关的向量组.9《线

4、性代数》试卷（A卷）参考答案与评分标准一、填空1.;2.；3.；4.；5.；6.；7.个线性无关的特征向量；8.；9.正负惯性指标；10.内积.二、单项选择题1.b;2.c;3.b;4.b;5.d.三、计算题1.解行列式的第一列元素为1，－1，1，－1，而第二列元素的代数余子式为.即为行列式的第一列元素为1，－1，1，－1与第二列元素的代数余子式为对应乘积之和.————————5分由行列式的性质，.————————10分　2.解1）求特解.对方程组的增广矩阵作行初等变换，将其化为简化行阶梯形矩阵..

5、由此可见，由于（未知量的个数），故方程组有无穷多解，且与其同解的方程组为9令，得方程组的一个特解.————————5分2）求导出方程组的基础解系.根据1）中增广矩阵中的系数矩阵的初等变换结果，导出方程组同解于因（未知量的个数），故导出方程组有无穷多解，且方程组自由未知量个数为，选取为自由未知量，并分别令，代入方程组，则得导出方程组的一个基础解系————————12分3）非齐线性方程组的一般解为其中为任意常数.————————15分3.解二次型的矩阵为9.故矩阵的特征值方程为，所以的特征值为.————

6、————5分对于，解齐次线性方程组，得基础解系，对于，解齐次线性方程组，得基础解系；对于，解齐次线性方程组，得基础解系.从而线性无关且正交；————————10分将单位化，得9，于是得正交矩阵.即通过正交变换将二次型化为标准形（注意与的次序相对应）.————————15分四、证明题1.证因是二阶矩阵，，即有两个不同的特征值，故能够对角化.————————10分2.证1）由于是的一个基础解系，故线性无关；————————5分2）证明线性无关，且；故是该方程组的一个基础解系.————————10分3.证

7、设有，使9.————————5分不妨设向量为列向量，则以左乘上式两端，得.因，故，从而必有，于是线性无关.————————10分9