离散系统的数学描述

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1、第3章离散系统的数学描述为了研究离散系统的性能，需要给出离散系统的数学模型。离散系统的数学模型主要有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。这些描述方法虽然形式不同，但在描述同一系统时却是等价的，并且可以相互换算，离散系统的每一种数学描述相对连续系统均有类似的方法与之对应。例如数字控制系统的时间脉冲序列对应于连续系统的时间脉冲响应；差分方程对应于微分方程；脉冲传递函数对应于传递函数；离散状态空间表达式对应于连续状态空间表达式等等。13.1线性差分方程3.2脉冲传递函数第3章离散系统的数学描述23.1线性差分方

2、程1．离散系统的定义一、离散系统的数学定义将输入序列，变换为输出序列c(n)的一种变换关系，称为离散系统，记作（3-1）式中：r(n)和c(n)可以理解为t=nT时,系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT)，T为采样周期。说明：1）讨论离散系统时,仅关注采样时刻上各信号间的关系;2）离散系统反映的是输入序列与输出序列之间的一种变换关系，或者称映射关系。32．线性离散系统的定义若,且有,其中a，b为任意常数，则：如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，即有如下关系式：3．线性定常离散系统的定义输入与输出关系不

3、随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统，也称作线性时不变离散系统。4二、线性常系数差分方程及其解法1．线性常系数差分方程①线性定常离散系统可用n阶后向差分方程来描述：即：式中：和为常系数，，上式称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。（3-2）说明：1）上式所描述的系统实际上是一个因果系统；2）差分方程中序号的最大差值称为方程的阶。5②线性定常离散系统也可用n阶前向差分方程来描述：说明：1）后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序；2）前向差分方程：便于讨论系统阶次，从而便于使用Z变

4、换法计算线性常系数差分方程的解。即（3-3）62．线性常系数差分方程的解法经典法迭代法Z变换法线性常系数差分方程的求解方法后向差分方程或前向差分方程都可以使用迭代法求解。若已知差分方程（3-2）或（3-3），并且给定输出序列的初值和输入序列，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。1）迭代法（递推法）7例4（P301例7-16）：已知差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)输入序列r(k)=1，初始条件为c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求输出序列c(k)，k=0,1,2,…,10

5、.解：根据初始条件及递推关系，得：c(0)=0c(1)=1说明：用递推法求解差分方程，计算过于烦琐，不易得到输出序列c(k)的通项表达式。82）Z变换法（※※）主要思路：在已知输出c(k)的初始值和输入序列r(k)的情况下，对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的实数位移定理，得到以z为变量的代数方程，计算出代数方程的解C(z)，再对C(z)取Z反变换，求出输出序列c(k)。具体步骤：①根据Z变换实数位移定理对差分方程逐项取Z变换；②求差分方程解的Z变换表达式C(z)；③通过Z反变换求差分方程的时域解c(k)。9说明：

6、使用Z变换法时，应采用前向差分方程，利用超前定理将其转换成以z为变量的代数方程。若给出的描述系统的差分方程是后向差分方程的话，应该先将其转换成前向差分方程，再利用超前定理将其转换成以z为变量的代数方程。否则的话，若直接利用滞后定理将后向差分方程转换为以z为变量的代数方程的话，计算得到的代数方程的解C(z)形式通常比较复杂，难以进行Z反变换。10注意：在应用Z变换法求差分方程的解之前，必须先判断以下两个问题：1）判断差分方程的类型：若是前向差分方程，只需直接应用超前定理进行Z变换；若是后向差分方程，通常需先将其转换成前

7、向差分方程，再利用超前定理进行Z变换。2）判断差分方程的阶数，确定计算中所需的的初值个数：由于应用Z变换法计算差分方程的解时，计算中所需的的初值个数等于差分方程的阶数，所以需要判断差分方程的阶数。例如一个二阶差分方程，需已知两个初值c(0)，c(1)才能进行后续计算。若题目中所给的已知的初值条件不足，必须先设法计算出所需的全部初值，才能进行后续计算。11例6（P301例7-17）：用Z变换法解下列差分方程设初始条件为c(0)=0，c(1)=1。例7（P347习题7-8(1)）：用Z变换法求解下列差分方程已知12例9：

8、已知某离散系统的运动方程由下列差分方程描述：其中：试求系统的响应c(kT)。例8：已知差分方程输入序列r(k)=1，初始条件为c(0)=0，c(1)=1，试用Z变换法计算输出序列c(k)（k≥0）。思考题：133.2脉冲传递函数（※※）一、脉冲传递函数定义图3-1开环离散系统脉冲传递函数定义(P302)（※）：在零初始条件下，系统输出采样信号的