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1、第十九章壳体的一般理论林国昌2010-11哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所生活中的壳体结构东京代代木国家大剧院朝鲜龟壳战船国立综合体育馆2§19-1曲线坐标与正交曲线坐标1.一般曲线坐标系z设直角坐标x、y、z与参数α、、有函数关系：βγP(x,y,z)(α,,βγ)xf=(,,)αβγ⎫1⎪yf=(,,)αβγ⎬(a)2oy⎪zf=(,,)αβγ⎭3表明：x(1)、一组(α、、βγ)值对应一组(x、y、z)值，因此这组(α、、βγ)值可以作为P点的位置坐标。一一对应：即要求函数xf=(,,)αβγ、yf=(,,)αβγ、zf=(,,)αβγ123在
2、(α、、βγ)定义域上单值、连续光滑且可逆。41.一般曲线坐标系(2)、假设取一个常数，而、作为变数，则可以得到γ一个曲面，表示为：αβxf=(,)βγ，，yf=(,)βγzf=(,)βγ111当α取一系列常数时，可得到不同的α值表示的一族曲面。zzzγ=γ3α=α3β=β3β=β2β=β1γ=γα=α22oyoyoyα=αγ=γ1x1xxβγα值表示的一族曲面值表示的一族曲面值表示的一族曲面5P点面α、面、面βγ假定、、与αβγx、y、z在弹性体的某一区域互为单值，则每族曲面中有且只有一个曲面通过该区域内的任意一点P。这三个曲面分别称为：P点的α面、
3、面、面。βγP点的α线、β线、线γ在β面与γ面相交的曲线上，与βγ均为常数，而只有是变数，那么这α条经过P点曲线称为P点的α线。另外两根分别称为P点的β线和γ线。62.拉梅系数点P是点P的邻点，P点相对于P点具有坐标增量dα，则PP的弧长111ds为：112222ds=++()dxdydz112222⎡⎛⎞∂∂∂xyz⎛⎞⎛⎞⎤=++⎢⎜⎟dddααα⎜⎟⎜⎟⎥⎢⎣⎝⎠∂∂∂ααα⎝⎠⎝⎠⎥⎦12222⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂xyz=++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟dα⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂∂∂ααα⎣⎦(α+dαβγ,,)(α,,βγ)∂∂∂xxxdx=++dαdβγ
4、d∂∂∂αβγ∂∂∂yyydy=++dαdβγdds∂∂∂αβγ1∂∂∂zzzdz=++dαdβγd∂∂∂αβγ72.拉梅系数12222⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂xyz⎤命：ds11=HdαH1=++⎢⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂∂∂ααα⎥⎣⎦H1几何意义：当坐标α改变dα时，α线的弧长增量ds1与α坐标的增量dα之间的比值，称为α方向的拉梅系数。在β方向与γ方向的弧长增量用ds2与ds3表示:ds=Hdβ，ds=Hdγ(19-1)22331⎫2222⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂xyz⎤⎪H=++⎢⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥1∂∂∂⎪⎢⎣⎝⎠⎝⎠⎝⎠ααα⎥⎦⎪1⎪2222
5、⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂xyz⎤⎪⎪H2=++⎢⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎬(19-2)⎢⎣⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂∂∂βββ⎥⎦⎪1⎪⎡⎤2222⎪⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂xyzH=++⎢⎥⎪3⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂∂∂γγγ⎪⎣⎦⎪⎭8球坐标系的拉梅系数球坐标系中，坐标变量为：α→rβ→θγ→ϕα方向坐标改变dr()=PA时：ds1=drzβ方向坐标改变dθ时：ds=rdθ2dϕAdrγ方向坐标该变量为dϕ时：ds3=rsinθdϕCPrθ所以球坐标系中，拉梅系数为：dθBH1=1H2=rHr3=sinθOyϕ在曲线坐标系中，其坐标变量(,,)rθϕx不一定都是长度，其对
6、应的弧长必然有一个修正系数，这些修正系数就是拉梅系数。9不同正交坐标系的拉梅系数a.在直角坐标系中，x,y,z均为长度量，其拉梅系数为：HHH===1123b.在柱坐标系中，坐标变量为(,,)rzϕ,其中ϕ为角度，其对应的线弧长rdϕ，拉梅系数为：HHr=1,==,H1123c.在球坐标系中，坐标变量为(,,)rθϕ，其中θ,ϕ均为角度，其拉梅系数为：HH=1,==r,Hrsinθ123103拉梅系数与坐标线之间的关系正交曲线坐标系：由三组相互正交的曲面组成的空间三维坐标系。正交曲线坐标系中三个拉梅系数H、H、作为Hα、、的函数有βγ6个关系：1231
7、1∂∂HH∂∂HH∂∂⎛⎞⎛⎞1⎫2233+⎜⎟+=⎜⎟0⎪2HH∂∂∂ααβ⎝⎠∂β∂γ⎝⎠H∂γ123⎪⎪11∂∂HH∂∂HH∂∂⎛⎞⎛⎞1⎪3311++=⎜⎟⎜⎟0⎬(19-3)2HH∂∂∂ββγ⎝⎠∂γ∂α⎝⎠H∂α231⎪⎪11∂∂HH∂∂⎛⎞∂H⎛⎞1∂H12+2+=10⎪2⎜⎟⎜⎟HH∂∂∂γγα⎝⎠∂αβ∂⎝⎠H∂β⎪312⎭∂∂2∂∂∂⎫HH11HHH11−−=2130⎪∂∂βγHH∂∂βγ∂∂γβ23⎪∂∂2HH11∂H∂H∂H⎪⎪22−−=3210⎬∂∂γαHH∂γ∂α∂αγ∂(19-4)31⎪2⎪∂∂HH11∂∂HH∂H33−1
8、2−=30⎪∂∂αβHH∂∂αβ∂∂βα⎪⎭12成鸿学,郭建华.《薄壳力学的数值计算》,华中工
