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《H矩阵预条件对角占优性的改进--王佳佳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、矩阵的预条件对角占优性王佳佳指导教师:王学忠（河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000）摘要文[7]中作者研究了如何建立适当的预条件矩阵,把一个非对角占优的矩阵转化为对角占优矩阵,在文[7]的基础上，我们进一步讨论了对角占优性与参数的关系，得到了对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据。关键词迭代法;矩阵;预条件矩阵;对角占优性中图分类号O151.26PreconditionedDiagonallyDominantPropertiesofH-matrixLiXiaomeiInstructor:WangXuezhong(SchoolofMathematicsandSt
2、atistics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)AbstractIn[7],LiandWangstudiedhowtoestablishappropriatepreconditionedmatricesfortransformingaH-matrixwhichisnon-diagonallydominantmatrixintothediagonallydominantmatrix.Inthispaper,wediscusstherelationbetweenthediagonallydominantpropertiesandparam
3、etersbasedontheconclusionof[7]andobtaintheparametersonbestdiagonallydominantproperties.KeywordsIterativemethod;H-matrix;Preconditionsmatrix;Diagonallydominantproperties1引言对于给定的线性方程组,(1)其中和已知,未知.当用迭代法求解时迭代格式为,其中称为迭代矩阵,称为初值[1].我们用到的经典迭代法有Jacobi迭代法[1],Gauss-Seidel迭代法[1],SOR()迭代法[1],它们的迭代格式分别为,
4、,,而且当系数矩阵为严格对角占优矩阵时,这三种迭代法都收敛[2]4,当系数矩阵的对角占优性越强时,迭代法的收敛速度越快.但是,在实际问题中我们所遇到的系数矩阵不一定严格对角占优,因此,对原方程组进行预条件等价变形,把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要.例如,我们可以找两个非奇异矩阵和使得严格对角占优,这样便把解的问题转化为解其同解问题,(2)和.因此,找到好的和便成为问题的关键,其中和称为预条件矩阵[5].对和的选取方式有很多种,现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵,具体形式可参考文献[5，7].本文在文[7]的基础上主要考虑与的对角占优性之间的关系，找到了
5、比的对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据.2预备知识定义1[3]设,若可以表示为,其中,则当时,称为非奇异的矩阵,简称矩阵.定义2[4]设,令,,则称矩阵为的比较矩阵,记作,即,其中,表示以和中元素的模为元素的矩阵.若是非奇异的矩阵,则称为非奇异的矩阵,简称矩阵.定义3[3]设,若满足,且至少有一个使上述不等式严格成立,则称为弱严格对角占优矩阵;如果上述个不等式都严格成立,则称为严格对角占优矩阵.定义4[3]设,若存在正对角矩阵,使得为行（列）严格4对角占优矩阵,则称为行（列）广义对角占优矩阵.引理1[4]是矩阵的充要条件是存在使,其中.引理2[5]是对角元全为1
6、的矩阵,若,则成立不等式.引理3[5]是矩阵的充要条件是存在正对角矩阵,使得为行（列）严格对角占优矩阵.3主要结论及证明若是对角元全为1的矩阵,我们考虑文[7]中提到的如下预条件矩阵和,,,其中是参数.定理1若是对角元全为1的矩阵，假设存在一个正的向量使得让，那么.证明由知，定理2是对角元全为1的矩阵,假设存在一个正向量,使得,如果满足条件,那么,是矩阵,并且是严格对角占优矩阵,其中是常数.证明让,取,则4，（1）当时，,（2）当时，.因此,是矩阵,并且是严格对角占优矩阵.从上面的证明我们可以看出,定理1的结论很好,但在具体的应用过程中,我们很难确定和的数值,从而给解题带来不
7、便,因此可考虑对和取特殊值来避免此不便.现对和取特殊值为,,可得下面的定理.推论1是对角元全为1的矩阵,让和，如果,那么,是矩阵,并且是严格对角占优矩阵,其中是常数.定理3是对角元全为1的矩阵,让和，如果,4那么是比对角占优性更强的矩阵.证明显然，只需表明即可，（1）当时，,（2）当时，.参考文献[1]刑志栋,曹建荣.矩阵数值分析[M],第2版.西安:陕西科学技术出版社,2005.9.[2]张凯院,徐仲.数值代数[M],第2版.北京:科学出版社,2006.8.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M],第2版.
