“同余”在中学数学解题中的应用赏析

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1、2014年第11期福建中学数学47验永远是最好的学习方式．当下，利用好几何画板教育信息化，2011（12）：56-58[2]张小兵．几何画板创设数学情境的研究．南京师范大学硕士学位论文，做好数学实验是实现信息化教学最好的切入点，它2004会将初中数学教学引向一个新的辉煌．[3]岑盛锋．基于几何画板的高中数学实验的教学研究．广西师范大学硕士学位论文，2007[4]黄国栋．中职数学实验教学的现状和突破之道．成才之路，2012（16）：参考文献38-39[1]王艳．浅谈“几何画板”在培养学生自主探究学习能力中的作用．中国“同余”在中学数学解题中的应用赏析赵洪君川北幼儿

2、师范高等专科学校（628017）103若整数a和b除以m所得的余数相同，则称a和并将已知数按幂展开，b对模m同余，记作ab≡(mod)m．其主要基本性质A=100101102103"499500340033993=×100(10)+×101(10)++×+"49910500，有（仅罗列服务于文中例子的几个性质）33设abcdmm，，，，，是整数，且mmm，，>0，∵10≡1(mod9)，10≡−1(mod7)，1212∴A≡+++++100101102"499500则=30040135×≡×≡6(mod9)，（1）若ab≡(mod)m，bc≡(mod)m，则ac

3、≡A≡100101102−+++−+"488499500(mod)m；≡300≡6(mod7)，（2）若ab≡(mod)m，cd≡(mod)m，则ac+≡并且A≡06≡(mod2)，bd+(mod)m；所以A≡6(mod126)．（3）若ab≡(mod)m，cd≡(mod)m，则ac≡bd故选C．nn(mod)m，特别地有，ab≡(mod)m（n为任意正整评注求余数是同余知识的一个最基本最直接数），ka≡kb(mod)m（k为非零整数）；的应用．虽然在小学阶段就在求余数，但被除数，（4）若ab≡(modm)，ab≡(modm)，mm=[，121除数都是比较简单的

4、整数．如果被除数（或式）比m2]，则ab≡(mod)m．较复杂，那么我们就要针对模有目的地对被除数进以上性质证明略．行拆分变形（有时对模也要进行拆分），再利用同余同余是初等数论中的一个重要而最基本的概的性质运算即可．念，其理论以数论特有的思想、概念与方法来研究本题的被除数是一个1203位的一个正整数，显整数的性质，在数论中占有极为重要的地位，极大然很大，用常规的除法直接计算是不理智的．将模地丰富了数学内容．一些初数问题，我们如果经过分解成2，7，9，再针对其模，将A=100101102103仔细观察剖析、认真琢磨推敲，充分利用同余的概"3499500按幂10展开

5、，用同余的性质，就使一个念和性质可以解决许多数学问题，而且能够起到化貌似庞然大物的被除数关于模的余数问题轻松拿难为易，化繁为简的奇效．下．真乃得来全不费工夫．1求余数2求整数的个位数（或整数的末两位数字）例1（2007年安徽省预赛试题）设A=10010110例2（2007年浙江省预赛试题）已知a=20072103"499500是一个1203位正整数，由100到500｛2007}2007$2007重，则a的末两位数字是（）的全体三位数按顺序排列而成，那么A被126除的A．01B．07C．43D．49余数是（）解析为了叙述和书写的方便，A．78B．36C．6D．02

6、007$2007不妨设Nk=2007}，k解析将模126分解因素，126=2×7×9，N于是N=20072006．200748福建中学数学2014年第11期因为2007≡7(mod100)，进而使问题顺利解决．44求方程的整数解7=≡24011(mod100)，4例4（2007年天津预赛试题）方程x22+3y=所以2007≡1(mod100)．进而有20074n≡1(mod100)，n∈Z，2007的所有正整数解为．2又2007≡−≡13(mod4)，解析已知方程左边y项的系数是3，将方程两2所以2007NN2005≡−(1)2005≡−≡13(mod4)，边模

7、3后可得x≡0(mod3)，即x≡0(mod3)，所以x即2007N2005=+4q3，q∈Z，是3的倍数．22N2007N2005设x=3x1，代入已知方程得(3)x1+3y=2007，因此N=≡20072006200720072243q+3即是36xy1+=69，对此方程两边又模3得y≡0=≡77≡43(mod100)，故选C．(mod3)，所以y是3的倍数．评注求一个整数的个位数（或末两位数字），再设yy=3，将x=3x，yy=3代入原方程得只须求这个整数关于模10（或模100）的余数．11122nxy+=3223．该题首先找出较小的n=4，使2007≡1

8、(mod100)，112