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《微分方程的积分因子求解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。关键词：全微分方程，积分因子。一、基本知识定义1.1对于形如（1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是，的一个可微函数的全微分，即=，则称（1.1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为=,（为任意常数）.定理1.1（全微分方程的判别法）设，在，平面上的单连通区域内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为（1.2）证明见参考文献[1].定义1.2对于微分方程（1.1），如果存在可微函
2、数，使得方程（1.3）是全微分方程，则称为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2可微函数为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为-=（1.4）证明：由定理1.1得，为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为，展开即得：6-=.上式整理即得（1.4）.证毕注1.1若，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子。为了求解积分因子，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当具有某种
3、特殊形式时还是较易求解的。二、特殊形式的积分因子的求法情况1当具有形式时，方程（1.4）化为=，即=于是得到：定理2.1微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数,不含.此时易得,.类似地定理2.2微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数,不含.并且,.例2.1求的通解.解:因=,故.6方程两边同乘以得,即,故通解为=,即，（为任意常数）.情况2如果(1.1)具有形如的积分因子,令,则=.由(1.4)得=,于是得到:定理2.3微分方程（1.1）具有形如的积分因子
4、的充要条件为只是的连续函数,此时积分因子为,(为任意非零常数).例2.2求的积分因子.解:因=故方程具有形如的积分因子,取得，=.情况3如果(1.1)具有形如的积分因子,令,则=.由(1.4)得=,于是得到:定理2.4微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为6只是的连续函数,此时积分因子为,(为任意非零常数).例2.3求的积分因子.解:因=，故方程具有形如的积分因子,取得=.情况4一般地,如果方程(1.1)具有形如的积分因子,令,则.由(1.4)得=,于是得到定理2.5微分方程（1.1）具有形如
5、的积分因子的充要条件为只是的连续函数,此时积分因子为,(为任意非零常数).类似地,我们有定理2.6微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数,此时积分因子为,(为任意非零常数).例2.4求的积分因子.解:由，6=,易知,欲使上式仅是的函数,只须等于常数即可.为此,令,,得,.此时=-1.取得.三、一般理论定理3.1如果是微分方程(1.1)的积分因子,(1.1)乘以后得到(1.3).设(1.3)的左端为,则仍是(1.1)的积分因子.其中,是任何可微函数.定理3.2在(1.1)中,若和在
6、长方形区域上连续,且在上处处不为零.对于(1.1)的任何两个在上处处连续且恒不为零的积分因子,(从而,在上不变号),设.则在内任一点,可定出一邻域,在此邻域内,只是的函数.上述两定理的证明可参见参考文献[3].注3.1由定理3.1和定理3.2即知,设是(1.1)的积分因子,(1.3)的左端为,则(1.1)的积分因子通式为.其中,是任何可微函数.例3.1求的积分因子及通解.解:重新组合:,6对于前一个括号内可求得一个积分因子,乘之得.故前一个括号内可取积分因子通式为.同样可得后一个括号内的积分因子通式为.
7、下面求出,,使得=.设,,即有=,于是得,解得,.从而即得原微分方程的一个积分因子为,用乘以方程的两边可求得通积分为,(为任意常数).6
