5-角动量定理

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1、复习上一次课的内容例题：求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。建立图示坐标,在离原点x处取宽度为dx的面积元，1、力的冲量由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板rtr每单位面积的质量为σ则此面积元的质量fI=∫F(t)dt冲量是力对时间积累量ytidm=2xσdxa2、动量定理及守恒定律：三角形质心坐标xc是trrrrra/22Oxfxdm∫2dσxx2∫Fdt=Pf−Pi∑F=0,P=常矢量x=∫=0=atic1xmσa23rrrdx3、质心运动定理：质心r∑miriFM

2、=a2r=ccm4、质点系的动量定理及守恒定律2例确定半径为R的均质半球的质心位置。质点的角动量和角动量定理解：建立如图所示坐标yrrrrr已知薄圆盘的质心位于圆心，取dyvdpd(r×p)drrrdpF==×p+r×厚度为dy的薄圆盘为质量微元。dtrdtdtrdt22Rrrrdp=−ρπ()RyydxrdpddmV=ρOr×F=r×=r×R22rdtrdt∫ydm∫0yρπ(R−y)dyrrd(r×p)rrrLpyc==3r×F=令M=r×F为力矩mρ2πR/3dtrrrqvL=r×p为角动量rR∫

3、()R2−y2dy2vdL=03R质心在距球心M=称为质点的角动量定理4R3/3=3R/8处。dt8质点所受的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率。3力矩角动量rrrr定义:M=r×Fθr定义:Lr=rr×prBαp方向：用右手螺旋法则确定NrFArrrθ×M方向：用右手螺旋法则确定×Lrr即：右手四指从r方向绕向rFrr大小：则拇指指的就是M的方向rrrrrrL=r×po大小：M=r×ForrrrrMr=rpsinαLvm=rFsinθFαrrrθ=OA⋅p=ON⋅Fo——力臂乘以力N——动量臂乘以动

4、量1关于力矩和角动量的几点说明角动量的几何含义：rrrrrrrrrM=r×FL=r×pL=r×prΔr1、力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点而言的L=mvrsinα=mlimrsinαM1rΔt→0ΔtαrN2、同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。ΔrrsinαPΔr2ΔS在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的=2mlim=2mlimrrvrΔt→0ΔtΔt→0Δtr(t)r(t+Δt)r3、质点作匀速率圆周运动时，质点rΔSdS对圆心的角动量的大小、方向均不Oσ=lim=称为面积速度变

5、L=mvrΔt→0ΔtdtOrrrrrrr4、L=r×mυ=mr×υ≠mυ×r角动量的大小与面积速度成正比长为l的轻杆，其两端分别固定有质量为m和3m的物体，角动量守恒定律r取与杆垂直的固定轴,重物m与过O点轴的距离为3l，rrrrdL绕轴转动的线速度为v。求它们对O点的总角动量。4M=r×FM=例：行星受力方向与矢径在一条直dt线（中心力），故角动量守恒⎛3l⎞ùvUr----->r解：两球的角速度相等ω=v⎜⎟r⎧⎪F=0,L=常矢量⎝4⎠m3OM=0⎨rrr故3m质点线速度为：l3m⎪⎩F过O点(

6、r//F)llvv4rrrv×mvv=mvrsinαv′=ω=⋅=rvΔrL=443lLαr1r3ΔrΔrrsinαr=mrsinα=2m2总角动量为：4rmΔtΔt3ll3llvΔSL=mv+3mv′=mv+3m=lmv=2m=常数44443Δt方向：沿转轴方向向上应用质点的角动量守恒定律可以证明例：摆球对O和O’点的角动量是否守恒？开普勒第二定律rrO’开普勒第二定律r//F1)对固定点rO，质点vmr所受合外力rrrrlθ矩:Mo=R×(mg+T)=0M=r×F=0T对O点角动量守恒rmRoL=常

7、矢量2)对固定点O’，质点m所受合外力vvrrmg矩:M=l×(mg+T)≠0'dSoL=2m对O’点角动量不守恒dtrrrL=l×mvo'.×大小Lo’=mvl不随时间变化行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积方向随时间变化11122质点系角动量定理质点系的角动量守恒定律rrrrrdL·Pi·iMrFiii=×+()∑fji=ir·r·ji≠dtri−rjvi、j相互作用的力矩之和为Fiffji·rdLijrrrrrrr·j质点系的角动量定理M=rfrf×+×=−×()rrf=0ri·dtijij

8、ijijjirj·vrrr⇒∑∑rf×=0o质点系的角动量守恒定律M=0L=常矢量ijiiji≠rrrdr质点系所受的合外力矩质点系所受的合外力矩为零时，M=∑ri×Fi=(∑Li)等于该质点系的角动量质点系总角动量守恒idti对时间的变化率无外力矩，质点系总角动量守恒1314解：以滑轮轴为参考点，把小两人质量相等小议链接4两人质量相等孩,滑轮和绳看作一系统（1）两人同时到达；系统所受的合外力矩：既忽略又忽略既忽略又忽略Mv=rv×mgr+