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1、2006年12月纯粹数学与应用数学Dec.2006第22卷第4期PureandAppliedMathematicsVol.22No.4Pascal分布的参数估计韩明(福建工程学院数理系,福建福州350014)摘要:对Pascal分布,提出了参数估计的一种新方法——E-Bayes估计法.给出了可靠度的E-Bayes估计的定义,在此基础上给出了可靠度的E-Bayes估计公式,并给出了可靠度的E-Bayes估计的性质——E-Bayes估计和多层Bayes估计的关系.最后,给出了模拟算例,结果表明本文提出的E-Bayes估
2、计法可行且便于应用.关键词:可靠度;Pascal分布;E-Bayes估计;多层Bayes估计中图分类号:O213.2文献标识码:A文章编号:1008-5513(2006)04-0510-061引言关于参数估计,近年来用Bayes方法取得了一些进展.特别是在文[1]中提出了多层先验分布的想法,文[2]提出了多层先验分布的构造方法以来,多层Bayes方法在参数估计上取得了一些进展.但用多层Bayes方法得到的结果一般都要涉及积分的计算,虽然有MCMC(MarkovChainMonteCarlo)等计算方法,但在有些问题的
3、应用上还是不太方便,这在一定程度上制约了多层Bayes方法的应用.那么在各种方法比较无甚优劣时,估计方法的易算性就显得尤为重要,这是一个值得重视的问题.本文提出的“参数的E-Bayes估计法”,正是为了解决这些问题而提出来的.若对某产品进行成败型试验,则其寿命是以成败的次数来衡量的,Pascal分布就是研究这类寿命的分布之一.在独立重复试验中,设每次试验成功的概率为,失败的概率为1-(0<<1),将试验进行到出现r次失败为止,则所需的试验总次数X是一个服从Pascal分布的随机变量,其分布律为r-1n-rrP(
4、X=n)=Cn-1(1-),n=r,r+1,⋯(1)其中0<<1,为产品的可靠度.对于Pascal分布可靠度的研究,具有理论和实际应用价值.文[3]中,给出了Pascal分布可靠度的多层Bayes估计.本文在第二节中,将给出可靠度的E-Bayes估计的定义;在第三节中,将给出可靠度的收稿日期:2005-12-12.基金项目:福建省自然科学基金资助项目(Z0511044);福建工程学院人才基金资助项目(GY-Z0502).作者简介:韩明(1961-),教授,研究方向:数理统计与可靠性理论.第4期韩明Pas
5、cal分布的参数估计511E-Bayes估计;在第四节中,将叙述可靠度的多层Bayes估计;在第五节中,将给出可靠度的E-Bayes估计的性质——E-Bayes估计和多层Bayes估计的关系;在第六节中,将讨论几何分布的参数估计;在第七节中,将给出模拟算例.2的E-Bayes估计的定义若的先验分布为共轭分布——Beta分布,其密度函数为a-1b-1(a,b)=(1-)/B(a,b)(2)1a-1b-1其中B(a,b)=∫t(1-t)dt为Bata函数,0<<1,a>0,b>0为超参数(hyper0
6、parameter).在文[2]中,提出了多层先验分布构造的方法——增函数法.如果根据先验信息(或专家经验)知道所研究产品的质量比较好(或可靠度大的可能性大、小的可能性小),按文[2],应选择a和b使(a,b)为的增函数.当01时,(a,b)为的增函数.考虑到Beta分布的性质,在0
7、1为常数,常数c待定).由此可以确定超参数a和b的范围为01为常数).定义1如果B(a,b)是连续的,称EB=∫∫B(a,b)(a,b)dadbD为的“E-Bayes估计”(expectedBayesestimation),其中∫∫B(a,b)(a,b)dadb<∞,D是a和Db的可能取值范围组成的集合,(a,b)是a和b在D上的密度函数,B(a,b)为的Bayes估计(用超参数a和b表示).从定义1可以看出,条件∫∫B(a,b)(a,b)dadb<∞是保证积分∫
8、∫B(a,b)(a,b)dadb存DD在.并且可以看出,的E-Bayes估计EB=∫∫B(a,b)(a,b)dadb=E[B(a,b)]D是的Bayes估计B(a,b)对超参数a和b的数学期望(expectation),即的E-Bayes估计是的Bayes估计对超参数的数学期望.应该说明,就象经验Bayes估计(empir
