巧妙建模多题归一

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1、巧妙建模多题归一——两点之间线段最短的应用鲁迅外国语学校寿杏娟古罗马有一位将军,他每天都要从营地A出发,到河边给马饮水,再到河岸同侧的指挥所B处开会。他经常想一个问题:应该沿怎样的路线行走才能使路程最短?请你帮他想一想,并画出最短的路线。BACPBA地位分析上题要用到的基本知识是两点之间线段最短,这是数学的基本公理,可谓人尽皆知,但一旦要运用它来解题,学生往往一脸茫然,不知从何做起。上题其实体现了数学建模思想,本质上是要培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力。变式1背景为直角坐标系一束光线从y轴上的点A(0,2)出发,经过x轴上点C反射后经过点B(6,6),则光线从点A到点B所

2、经过的路程是()A.10B.8C.6D.4AABA,DC变式2例:(08黄岩)如图,已知在等腰△ABC中,∠ABC=1200,P是底边AC上的一个动点,M、N分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2,求△ABC的周长.M′PBACMN——背景为等腰三角形2.正方形ABCD的周长为8,点E是线段AB的中点,点P是对角线AC上的一个动点,求PE+PB的最小值。ABPCEDP变式3背景为正方形3.如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,M、N分别是AB,BC边上的中点,PM+PN的最小值是()AMBPNDCPM,变式4背景为菱形4.在梯形ABCD中,AD∥BC,A

3、B=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为多少?AMPNBCD说明:此题即求AC的长。P变式5背景为等腰梯形5.如图,AB是⊙O的直径,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,OC=1,点D在圆上,AD=2DC,点P是半径OC上的一个动点,那么AP+PD的最小值是()APBODCP变式6背景为圆xy362-2-3在反比例函数上有两点A(3,2),B(6,1),在直线y=-x上有动点P,那么当PA+PB最小时,求P点的坐标.ABA’P变式7y=x6——背景为双曲线P例:(09衢州)如图已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y

4、=ax2上.(1)求a的值及点B关于X轴对称点P的坐标,并在X轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求点Q的坐标;Y8642x...........-4-2024..ABQP.变式五——背景为抛物线Y8642......A′(2)平移抛物线y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;x.....-4-2024.B′.A〞C变式六例:(08成都)如图,已知点A是锐角∠MON内的一点,试分别在OM,ON上确定点B、点C,使⊿ABC的周长最小,写出

5、你作图的主要步骤并标明你所确定的点(要求画出草图,保留作图痕迹).MONAA′A〞BC——逆向应用在平面直角坐标系中,有A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n等于多少时,AC+BC的值最小。ABCB,综合提升1如图,在直角坐标系中,有四个点A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(0,m),当四边形ABCD的周长最短时的值为.说明:此题可转化为求何时BC+DC+AD最小.即当点A关于x轴对称点A,,B关于y轴的对称点B,,与D,C在同一直线上时。OA··DCB·yxCDB,A,综合提升2链接中考(2008年恩施自治州)如图,C为线段BD上一动点,分别

6、过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?EDCBAEx8-x51C(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.EDCBAEx12-x32链接中考链接竞赛求代数式的最小值。说明:转化为即可EDCBAE2-xX+113F1、引导学生找到对称轴和三个点,三点在同一直线上时就是最短路线。2、以上求最短路线的问题都要求学生能把不同的问题抽象为同一类型,即构建数学模型。3、在教学中不但要培养学生一题多解的能力,还应积极培养学生多题归一

7、的能力。小结

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