概率论4.1特征函数

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1、第一节特征函数一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布.本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.关于复数的回顾复数的一般式：取角使得则其中为复数z的模长。复数的三角形式在三角形式下，令我们有复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当大的优势。如考虑欧拉公式：对于任何实数，记则复数的乘除法运算变成把指数函数推广到复变量的情形一、定义定义1设ξ、η为实值随机变量，称ζ=ξ+iη为复随机变量，这里称为ζ的数学期望.复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和性质可

2、以从实随机变量直接推广而得到，例如具有与实数学期望类似的性质.定义2设ξ为实随机变量，称为ξ的特征函数，这里t是任意实数.1.若ξ为离散型，则2.若ξ为连续型，其密度为p(x)，则它就是函数p(x)的傅里叶变换.特征函数的计算二、常见分布的特征函数例1退化(单点)分布P(ξ=c)=1的特征函数f(t)=例2二项分布B(n,p)的特征函数例3泊松分布P(λ)的特征函数例4均匀分布U[a,b]的特征函数特别地n=1时,0−1分布的特征函数为例5正态分布的特征函数例6指数分布的特征函数特别地,标准正态分布的特征函数为三、性质性

3、质1性质2性质3设η=aξ+b,a,b是任意常数，则性质4若相互独立,，的特征函数为，则这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.性质5若存在，则f(t)是n次可微的，且当k≤n时利用特征函数的性质,我们很容易求得伽玛分布和的特征函数.伽玛分布分布性质6(一致连续性定理)任何特征函数f(t)在(−∞,＋∞)上均一致连续.性质7f(t)是非负定的：对任意正整数n及任意实数，复数，有0这个性质是特征函数的最本质属性之一.事实上，我们有如下的波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理函数f(t)为特征函数的充要

4、条件是f(t)非负定，连续且f(0)=1.四、逆转公式与唯一性定理定理1（逆转公式）设分布函数F(x)的特征函数为f(t)，又是F(x)的两个连续点，则分布函数可由特征函数唯一确定定理2(唯一性定理)定理3(逆傅里叶变换)设f(t)是特征函数，且则分布函数F(x)的导数存在且连续，此时对应的随机变量必为连续型例7求证f(t)=cost是某随机变量的特征函数.并求出它的.分布函数f(t)=cost解=这是分布列为的随机变量的特征函数.=一般，若能把f(t)写成的形式，其中则f(t)是特征函数，它的分布列为关于分布函数的可加

5、性特征函数有很多重要的应用.比如,用它来讨论分布函数的可加性将非常方便.回忆:所谓可加性，是指若ξ与η相互独立，服从同一类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中的参数是ξ与η的相应参数之和.可加性也称再生性.例8设X和Y分别服从参数为的泊松分布,且二者独立试证X+Y服从参数为的泊松分布.X+Y服从参数为的泊松分布.大家试着利用特征函数来说明一下表4.1.1中还有那些分布具有可加性?证明:由泊松分布的特征函数知又X与Y相互独立,由性质4知将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知,参数为的泊松分布的特征函数