数学物理方程第十章球函数

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1、偏微分方程常微分方程组分离变量本征值问题广义傅立叶级数勒让德多项式贝塞耳函数（特殊函数）特殊函数勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，汇合超几何等函数。10.1轴对称球函数第十章球函数一、勒让德多项式有限设最后一个不为零点系数有1.代数表示则对适当乘本征函数以常数使得勒让德多项式：：小于、等于l的最大整数。总有x。唯一不含x的项2.微分表示（罗德里格斯公式）证：＃3.积分表示（施列夫积分）由科西公式C绕z=x点。设半径为C上即二、正交关系和模1.正交关系一个公式2.模第一项为零，即进行l次

2、分步积分后只有最高次幂才不为零，故再逐次进行分步积分，得即三、广义傅立叶级数定义在区间的函数可以展开为广义傅立叶级数展开系数为或区间的函数展开为系数为例：在，中将展开为广义傅立叶级数。解：比较展开式最多含三阶勒让德多项式。例2是奇函数：因找出项，它在x=0才不为零。例3解：由轴对称球内含所以拉普拉斯方程的轴对称问题边界条件与角无关，可以推断解也与角无关。故边界条件：例4解：偶延拓：例5均匀电场中放置介电常数ε的球，求介质球内、外的电场。解：无穷远处有边界条件，球面处有衔接条件。取球坐标，z-方向沿。轴对称拉普拉斯问题内外分

3、别讨论，然后连接起来。边界条件：衔接条件：Internal:External:电势连续：电位移连续：连续轴对称拉普拉斯方程度解的一般形式：球内有限：球外无穷远边值：利用衔接条件：解得球内电场强度：四、母函数定义：叫勒让德多项式的母函数。电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。它又是拉普拉斯方程度内解：令又所以即是勒让德多项式的母函数。球外令所以半径R的球：例6解：利用已知结果。导体内：等势。导体外：无导体时有导体时，设接地又是处电荷的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。五、递推公式两边求导或两

4、边同幂的系数递推公式10.2连带勒让德函数1.函数设m是规定的是l次多项式，求l+1次导数后变为零。2.微分表示情况：这也是勒让德方程满足自然边界条件的解。二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的解是唯一的，故这两个解只相差一个常数。同项幂的比应该就是这个常数。例如最高次幂：最高项：3.积分表示4.正交关系5.模多次分步积分：6.广义傅立叶级数m是规定的例1例2第一项在，第二项在不为零。7.递推公式由勒让德多项式的递推公式得之。10.3球函数1.球函数2.正交关系3.模4.球面上的广义傅立叶级数例1例2注意：例3

5、偶极矩的电场中的电势解沿x轴沿y轴沿z轴m等于零沿任意方向拉普拉斯方程度的非轴对称解例4球内解其余边界条件：四极矩分量：电势是两个偶极矩分别产生的电势的叠加：一个偶极矩的电势：一般的