高等数学方法——中值定理

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1、第五讲(一元微分学之二)微分中值定理及其应用方法指导1.微分中值定理的理解及它们之间的关系第二章第二节微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理(1)几个中值定理的关系(2)证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如,证明拉格朗日定理:要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.方法1.直观分析由图可知,设辅助函数(C为任意常数)方法2.逆向分析要证即证原函数法辅助函数同样,柯西中值定理要证即证原函数法设(3)中值定理的条件是充分的,但非必要.可适当减弱.(如p85例13)因此设在内可导,且则至少存在一点使证:设辅助函数显然在上连

2、续,在内可导,由罗尔定理可知,存在一点使即(4)中值定理的统一表达式设都在上连续,且在内可导,证明至少存在一点使证:按三阶行列式展开法有利用逆向思维设辅助函数显然F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且因此,由罗尔定理知至少存在一点使即说明设都在上连续,且在内可导,证明至少存在一点使若取即为罗尔定理;若取即为拉格朗日中值定理;若取即为柯西中值定理;(自己验证)2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.中值定理的主要解题方法中值定理原函数的性质导函数的性质解题方法:从结论

3、入手,利用逆向分析法,选择有关中值定理及适当设辅助函数.(1)证明含一个中值的等式或证根的存在,常用罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数.(2)若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.(3)若结论中含两个或两个以上中值,必须多次使用中值定理.(4)若已知条件或结论中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.(5)若结论为恒等式,先证变式导数为0,再利用特殊点定常数.(6)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.1.对微分中值定理的理解例1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2

4、)设有个根,它们分别在区间上.方程二.实例分析例2.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数例3.当时,试证证:设当时,在上满足拉氏中值定理条件,因此有解出,则时(p76例2)又因及在单调递增,于是说明:中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界.第六讲(一元微分学之二)微分中值定理及其应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论例4.设函数在内可

5、导,且证明在内有界.(p77例3)证:取点再取异于的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得(界于与之间)令则对任意即在内有界.例5.设函数在上二阶可导,且证明(P78例5)证:由泰勒公式得两式相减,得例6.设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发散.证：故序列发散.(2007考研）第六讲(一元微分学之二)微分中值定理及其应用例1求证，存在使设可导，且在连续，证：逆向分析做辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得2.证明有关中值问题的结论例2.设函数在上二阶可导,且证明至少存在一点使分析:在结论中将换为得积分证:类比设辅助函数

6、因在上满足罗尔定理条件,所以存在使因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有例3.设函数在上连续,在但当时内可导,且求证对任意自然数n,必有使分析:在结论中换为得积分因所以证:两边积分设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即例4.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设例5.设至少存在一点使证:问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明例6设成立。解：原式变形为令,由题意和基本初等函数性质可知，满足柯西中值定理条件,有等式成立。例7.试证至少

7、存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:例7.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在例8.设在上连续,在证明存在内可导,且使证:方法1（逆向分析法）因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立.在(参考p81例10)方法2.（常数k值法）令因此可考虑设辅助函数由于在上满足罗尔定理条件,故存在使由此可推得故所证结论成立.例9.设在上连续,在证明存在内可导,且使证:转化为证设辅助函数由于它在满足拉氏中值定理条件,

8、即证因此存在使再对转化为证在上用拉氏中值定理,则存在使因此例10.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简