量子力学习题课-田浩

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1、量子力学一.实物粒子的波粒二象性1、德布罗意（物质波）假说当时，2、不确定关系（测不准原理）动量与坐标：能量与时间：3、实物粒子的波粒二象性颗粒性，叠加性习题：计算德布罗意波长，不确定关系的简单应用.注意：单位换算，相对论非相对论，不确定量的使用例题1、分别就非相对论和相对论的场合，求质量为m，电荷为e的粒子在动能为Ek时的德布罗意波长.例题2、为了调查10-15m程度的原子核结构，伽玛射线和电子射线的能量分别多大？例题3、若一个电子处于原子某能态的时间为10-8s.试问这个原子能态的能量最小不确定量是多少？如果这个原子从上述能态跃迁到基态辐射的能量为3.

2、39eV，计算所辐射的光子波长并讨论这波长的最小不确定量。附题1、证明：一个质量m的粒子，在边长为a的正立方盒子内运动时，它的最小可能能量（零点能）为非相对论：相对论：伽玛射线：电子射线：能量最小不确定量：光子波长：波长的最小不确定量二.波函数与薛定谔方程1.量子力学的基本原理之一波函数波函数波恩的统计解释波函数的标准条件及态叠加原理2.量子力学的基本原理之二薛定谔方程薛定谔方程定态薛定谔方程3.一维定态问题一维无限深方势阱线性谐振子方势垒习题：讨论题，比较简单的计算题.注意：波函数计算时的注意事项例题4、有一粒子沿x方向运动，其波函数为（1）将此波函数归

3、一化.（2）求出粒子按坐标的概率分布函数.（3）在何处找到粒子的概率最大？解：（1）由归一化条件于是即.（2）概率分布函数为：（3）找到粒子的概率最大，即于是x=0例题5、当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r)U(r)+c,粒子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值改变否?解：由薛定谔方程当势能函数将U(r)+c代入方程中故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值改变.例题6、设粒子在一维无限深方势阱中运动,能量的量子数为n,试求:（1）距势阱内壁四分之一宽度以内发现粒子的概率.（2）n为何值时，在上述区域内找到粒子的概率最大.（3）当n时该

4、概率的极值,说明结果的物理意义.解：无限深方势阱为其归一化波函数为概率密度0a/4U(x)ax’(x)(x)3a/4（1）在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为，其中（2）n=3时上述区域找到粒子的概率最大,其值为:（3）与经典结果相同，在势阱内粒子在各处出现的概率相等,量子力学过渡到经典力学.所以例题7、设粒子处在[0,a]范围内的一维无限深方势阱中,波函数为，试求粒子能量的可能测量值及相应的概率.解：在一维无限深方势阱中能量本征值相应的能量本征函数为题中所给波函数为本征函数的线性组合，做变换如下:例题8、求线性谐振子在第一激发态时，概率最大的位置.

5、解：第一激发态波函数为令三.力学量与算符1.量子力学的基本原理之三力学量算符在量子力学中，力学量用一个算符表示，通过的本征方程可求得本征函数和本征值。当体系处在态时，力学量有确定值，即。2.量子力学的基本原理之四全同粒子体系微观全同粒子体系的状态不因其粒子相互交换位置而改变。这一规律称为微观粒子的全同性原理。换句话说，系统内任意两个全同粒子互相交换，都不改变系统的状态。例题9、设一维运动的粒子处在的状态,其中>0,试求:(1)归一化因子，(2)粒子坐标的概率分布，(3)在何处找到粒子的概率最大，(4)x和x2的平均值解：（1）求归一化因子注:式中运用定积

6、分：a>0，n为整数时（2）粒子坐标的概率分布函数(即几率密度函数)（3）若求粒子概率最大处,令找到粒子的概率最大.（4）求x和x2的平均值例题10、粒子在一維无限深势阱中运动,其波函数为，计算动量和动能的平均值解：动量算符动量的平均值为动能算符四.原子中的电子1.氢原子氢原子的薛定谔方程2.原子的电子壳层结构泡利不相容原理，能量最小原理(n+0.7l)元素周期表对给定的次壳层l=01234……spdfg……容纳最多电子数26101418……各壳层最多能容纳的电子数对给定的壳层n=12345……KLMNO……容纳最多电子数28183250…...例题11、

7、下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？(A).n=2,l=2,ml=0,ms=1/2(B).n=3,l=1,ml=1,ms=1/2(C).n=1,l=2,ml=1,ms=1/2(D).n=1,l=0,ml=1,ms=1/2例题12、根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个量子数来确定，其中主量子数n可取的值为（），它可决定什么？例题13、原子内电子的量子态由n,l,ml及ms四个量子数表征。当n,l,ml一定时，不同的量子态数目为（）当n,l,一定时，不同的量子态数目为（），当n一定时，不同的量子态数目为（）.例题14、在氢原子的L壳层中，

8、电子可能具有的量子数（n,l,ml,ms）是(A)(1,0,0,-