成贤教材-高数B下习 题 课 下07

《成贤教材-高数B下习 题 课 下07》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题课下07一、选择题1．设函数在点附近有定义，且，，则（C）（A）；（B）曲面在点的法向量为；（C）曲线在点的切向量为；（D）曲线在点的切向量为。解：仅在点存在偏导数，因而在点不一定可微。故（A）不正确。曲面在点的法向量为应为，即，故（B）不对。曲线在点的切向量为，故（C）正确。或曲线可看作以x为参数的空间曲线，它在点的切向量为。2．函数的极小值点是（B）（A）（0，0）；（B）（2，2）；（C）（0，2）；（D）（2，0）。解：，得驻点：（极大值点）；（非极值点）；（非极值点）；（极小值点）。

2、73．在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（B）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有三条；（D）不存在。解：该曲线在任意一点的切向量，它与平面的法向量垂直，即，，而每一个t对应于曲线上一点，应选（B）。二、填空题1．曲面点处的切平面方程为。解：设，，，，，，，∴切平面方程为，即。2．函数在点处沿A点指向点的方向导数为，在点处方向导数的最大值为，最小值为。解：，，，∴。，，∴，。3．曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。解：两曲面在点的切平面的法向量为7，，切线的方向向量，∴切线方程为,法平

3、面方程为，即。三、解答题1．过曲线在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？解：设切点为，，这是长半轴为，短半轴为的椭圆。切线方程为，化为截距式：，设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为S，则，即。求条件极值问题：，令，代入(3)，得，得唯一驻点，7∵函数S必有最小值，且S在定义域内只有唯一驻点，∴在点处面积S有最小值。2．求中心在原点的椭圆的长半轴与短半轴的长度。解：设为椭圆上的任一点，点M到原点的距离，d的最大值即为长半轴a，d的最小值即为短半轴b。设，令由(1)得

4、，代入(2)化简得，，.把，即，，，，.把，即，，，，.由于最值必存在，故长半轴，短半轴。3．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费及报纸广告费之间有如下经验公式：，求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为，求相应的最优广告策略。解：（1）利润函数为，即，由解得，。7利润函数在处的二阶偏导数为，，，∵，，∴在处达到极大值，即最大值。故当电台广告费用为，报纸广告费用为时，可使利润最大。（2）若广告费用为，则求利润函数

5、在条件下的最大值。设函数：，令，解之得，，即将广告费用万元全部用于报纸广告，可使利润最大。4．求曲面的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。解：曲面在第一卦限的点处的法向量为，切平面方程为，即，切平面在三个坐标轴上的截距分别为求条件极值问题：，设函数：，7，代入(4)得。∵函数A必有最大值，且在定义域内只有唯一驻点，∴曲面在点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为最大，该切平面方程为。5．当时,（1）求在球面上的最大值，（2）证明对任何正数，有.（1）解：设，，代入(4)得。根据实际问题知

6、，是最大值。∴，即。（2）证明：令，得。4．求证：时成立不等式。7（习题课教程P263例5）证明：令，设，下面求z在。作，,得唯一驻点.当时，；而当或时,得，显然唯一驻点只能是最小值点，，故。6、抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长和最短距离。解：最长最短距离分别为7