成贤教材-高数B下§6.3 幂级数

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1、§6.3幂级数6.3.1函数项级数的基本概念设为定义在数集上的函数列，则称①为数集上函数项级数。并称为①的部分和。在①中，令，则得一数项级数：②若②收敛，则称点为函数项级数①的一个收敛点；若②发散，则称点为函数项级数①的一个发散点。收敛点的集合称为收敛域。发散点的集合称为发散域。若的收敛域为B，则，存在。设，，称为的和函数，记作，。称为余项，当时，有。例如函数项级数的收敛域为，和函数为。例1.求下列函数项级数的收敛域:（1）（2）解（1）：这是“正项级数”，由根值判别法即当，，时，收敛；当，，时，发散；18当，，时，发散。。求一般函数项级数的收敛域，应把，先讨论的敛散性。解（2）：，当，

2、即时，级数绝对收敛；当，即时，且时，级数发散；当，即时，级数成为，发散。∴级数的收敛域为。6．3．2幂级数①称为幂级数，其中称为幂级数的系数。令，则有②②在。令，①可化为。1、幂级数的收敛半径和收敛区间定理1（阿贝尔定理）（1）若在点收敛，则对于一切满足，绝对收敛；（2）若在发散，则对于一切满足，发散。证明：（1）设在收敛，即收敛，则，从而18数列有界，即，使得（）。故，当时，，等比级数收敛，从而收敛，即绝对收敛。（2）用反证法证之。假设幂级数在而有一点使级数收敛，则由（1）中的结论，级数当时应收敛，这与所设矛盾，定理得证。阿贝尔定理表明：若幂级数在点处收敛，则幂级数在以原点为中心，为半

3、径的开区间内绝对收敛。定理2若幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必存在数，使得（1）当时，幂级数绝对收敛；（2）当时，幂级数发散；（3）当或时，幂级数可能收敛也可能发散。的收敛半径，称为的收敛区间。注：（1）考察了在收敛区间两个端点处的敛散性之后，便可得到收敛域。（2）若仅在处收敛，则规定；（3）若在整个数轴上收敛，则规定。定理3，则的收敛半径18证明：考察级数的敛散性，，（1）若，则，即，，从而绝对收敛；，，发散，从而也发散。故收敛半径。（2）若，则对一切，有，即知对任何，均收敛，从而绝对收敛，所以。（3）若，则对一切，有，从而对，，所以发散，故收敛半径。例1．求下列幂级

4、数的收敛半径和收敛域。（1）；（2）；（3）解（1）：∵，∴收敛半径，收敛区间（-1，1）。当时，幂级数为，∵，而收敛，∴收敛。当时，幂级数为，此级数绝对收敛。∴的收敛域为。解：令，则得新级数，18∵，∴。当时，新级数为，∵，，∴收敛。当时，新级数为，∵，而发散，∴也发散。∴新级数的收敛域为，即，故原级数的收敛域为。（3）解法1：此幂级数缺奇次幂项，即，因此不能直接用公式求收敛半径。根据比值（或根值）判别法来求收敛半径。，当，即时级数收敛；故收敛半径。当，原级数化为，发散；当，原级数化为，发散。故收敛域为。解法2：设，则得新级数。∵，∴新级数的收敛半径，∴当，即时原幂级数收敛，故原幂级数

5、的收敛半径为。当，原级数化为，发散；当，原级数化为，发散。故收敛域为。2、幂级数的运算和性质设的收敛半径为，和函数为，，则当时，有如下运算：18（1）加法和减法，①（2）乘法②定理4若的收敛半径为，和函数为，则（1），若幂级数在处也收敛，则。（2）在内可导，且，③逐项求导所得的幂级数与原级数有相同的收敛半。反复应用这个结论可得：在内具有任意阶导数。（3）在内可积，且，④逐项积分所得的幂级数与原级数有相同的收敛。此外，如果逐项求导或逐项积分后的幂级数在（或）处收敛，则在（或）处，等式③和④仍成立。例2．求幂级数的收敛域及和函数。解：，当，即时，级数收敛，收敛区间（-1，1）。当时，级数为，

6、这是收敛的交错级数，故级数的收敛域为[-1，1]。18设，，，，故，。注意：幂级数经过逐项求导（或积分），收敛半径不变，但端点处的收敛性可能改变。本例中所对应的级数在内收敛，而原级数在上收敛。例3．在区间内求幂级数的和函数。解：设，，且。，，，当时，，故例4．求数项级数的和。解法1：构造幂级数，其收敛域为。设，则。，。故所求数项级数的和为。18解法2：，∴。从以上例题可以看出，求和函数经常与求等比级数的和相互联系。一般地，当通项中的系数是关于的整函数时，可先逐项积分，使它转化为等比级数，求出等比级数的和，再求导得和函数；当通项中的系数是关于的分式函数时，可先逐项求导，使它转化为等比级数，

7、求出等比级数的和，再积分得和函数。§6.4函数展开为幂级数复习泰勒公式设内具有直到，则在该邻域内有.其中（）。麦克劳林()公式，（之间）。6．4．1泰勒级数前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，下面讨论相反的问题，即给定，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和函数恰好，若能找到这样的幂级数，则称在该区间内能展开成幂级数。定义设内具有任意阶导数，则称为处的泰勒级数，记为～。18处的泰勒级数，称为麦克劳林级数记为～。当内