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时间:2019-06-14
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1、立体几何-----折叠问题与存在性问题1.概念:将平面图形沿某直线翻折成立体图形,再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算,就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则:(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系;(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。1.如图,在中,是上的高,沿把折起,使2、F:FA=CP:PB=1:2(如图1).将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(III)求二面角B-A1P-F的余弦值.第5页3.如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.BACD图1(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求几何体的体积.。4.已知等腰三角形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面3、PAD⊥面ABCD(如图2).(Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分;第5页(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线PD是否平行面AMC.5.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得A1F⊥CD,如图2(1)求证:DE∥平面A1CB(2)求证:A1F⊥BE(3)线段A1B上是否存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ?说明理由6.(江西卷)如图,在三棱锥A-BCD中,侧面A4、BD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=第5页,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形(1)求证:AD^BC(2)求二面角B-AC-D的大小(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在确定E的位置;若不存在,说明理由。7.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(Ⅰ)证明PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.证明:如图,以A为坐标原点,5、直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,第5页建立空间直角坐标系如图。由题设条件,相关各点的坐标分别为第5页
2、F:FA=CP:PB=1:2(如图1).将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(III)求二面角B-A1P-F的余弦值.第5页3.如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.BACD图1(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求几何体的体积.。4.已知等腰三角形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面
3、PAD⊥面ABCD(如图2).(Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分;第5页(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线PD是否平行面AMC.5.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得A1F⊥CD,如图2(1)求证:DE∥平面A1CB(2)求证:A1F⊥BE(3)线段A1B上是否存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ?说明理由6.(江西卷)如图,在三棱锥A-BCD中,侧面A
4、BD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=第5页,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形(1)求证:AD^BC(2)求二面角B-AC-D的大小(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在确定E的位置;若不存在,说明理由。7.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(Ⅰ)证明PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.证明:如图,以A为坐标原点,
5、直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,第5页建立空间直角坐标系如图。由题设条件,相关各点的坐标分别为第5页
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