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1、19.2.3 一次函数与方程、不等式 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系. 2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集. 3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解. 通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力. 在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服
2、困难的信心. 【重点】 1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系. 2.掌握用图象求解方程、不等式的方法. 【难点】 根据一次函数的图象求解方程和不等式. 【教师准备】 教学中出示的例题. 【学生准备】 预习本节内容.导入一: 问题1 画出函数y=x+3的图象,并解答: (1)x取什么值时,函数值y等于3,0,-3? (2)x取什么值时,函数值y始终大于零? 学生画出函数的图象,按照要求独立思考问题. 追问:你是如何求x的值? 学生完成后,说出自己的方法和结果. (1)分别令y=3,0,-3,得到方程:x+3=3,x+3
3、=0,x+3=-3,分别解这些方程得:x=0,x=-2,x=-4. (2)当y>0时,即x+3>0,解不等式得x>-2. 追问:一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3与函数y=x+3有什么关系?你能利用一次函数的图象求出方程的解吗? 学生思考探究,讨论交流,并总结结论: 从数的角度看:求一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3的解就是求函数y=x+3当y的值为3,0,-3时对应的自变量x的值. 从形的角度看:也是求当一次函数的图象上纵坐标分别为3,0,-3时点的横坐标. 问题2 不等式x+3>0的解集与函数y=x+3有什么关
4、系?你能用一次函数的图象解不等式吗? 教师引导学生讨论交流,发现: 从数的角度看:不等式x+3>0的解集就是函数y>0时自变量x的取值范围. 从形的角度看:也就是直线y=x+3在x轴上方部分点的横坐标x的取值范围. 从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式. [设计意图] 通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程、不等式的问题,进而加深对数形结合思想的认识与理解.导入二: 问题1 (1)解方程2x-4=0. (2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值为0
5、? (3)从上述两个问题中,你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗? (4)画出函数y=2x-4的图象,并确定它与x轴的交点坐标. 学生按要求探究,并总结结论. 从数的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x的值. 从形的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4图象与x轴交点的横坐标. 问题2 (1)解不等式:2x-4>0 (2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0? (3)观察函数y=2x-4的图象,回答问题: 当x 时,y=2x-4>0,当x 时,y=2x-4<0.
6、学生按要求探究,讨论交流并总结. 从数的角度看:一元一次不等式2x-4>0的解集是一次函数y=2x-4的y值大于0时x的取值范围. 从形的角度看:解一元一次不等式2x-4>0(或2x-4<0)可以看作:求一次函数y=2x-4图象在x轴的上方(或下方)时点的横坐标的取值范围. 从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式. [设计意图] 问题导向,学生快速进入思考问题的角色,对理解一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间的关系,创造了条件,减少了干扰. 1.探究一次函数与方程
7、的关系 思路一 探究:下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗? (1)2x+1=3,(2)2x+1=0,(3)2x+1=-1. 学生独立思考后,画出一次函数y=2x+1的图象,发现: 三个方程等号的左边都是2x+1,结果不同.从图象上可以看出y=2x+1上纵坐标分别取3,0,-1的点的横坐标1,-,-1就是方程的解.再通过计算发现三个方程的解是函数图象上纵坐标为3,0,-1的对应点的横坐标的值. 追问:解方程ax+b=0(a≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0有什么关系? 学生通过具体问
8、题分析,经过讨论,归纳出结论. 任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)的形式.因此,解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b
