相似三角形的判断

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1、相似三角形的判定（一）城关初级中学候建琦[教材分析]本节内容是沪科版《新时代数学》九上第22章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌

2、握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．[教学目标]知识与技能目标：（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角．（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．过程与方法目标：（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．情感与态度目标：（1）通过实物演示和电化教

3、学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．[教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索[教学难点]相似三角形判定定理的预备定理的有关证明[教学方法]探究法[教学媒体]多媒体课件直尺、三角板[教学过程]一、课前准备1、全等三角形的基础知识2、三角形中位线定理及其证明方法3、平行四边形的判定和性质4、相似多边形的定义5、比例的性质二、复习引入（一）复习1、相似图形指的是什么？2、什么叫做相似三角形？（二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似

4、.图1记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应角．对于△ABC∽△A’B’C’,根据相似形的定义,应有∠A＝∠A’，∠B＝∠B’,∠C＝∠C’,＝＝.[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1与k2有什么关系?k1＝k2能成立吗?三、探索交流（一）［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DE∥BC交AC于

5、点E，那么△ADE与△ABC相似吗？（1）“角”∠BAC＝∠DAE．∵DB∥BC,∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C．（2）“边”要证明对应边的比相等，有哪些方法？Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理图2∵DB∥BC，D为AB的中点，∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线．（三角形中位线定理的逆定理）∴DE＝BC．（三角形中位线定理）∴＝＝＝．∴△ADE∽△ABC．Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．则△ADE≌△ABC,（ASA）且四边形DFCE为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行

6、四边形）　　　　　　　　　　图3∴DE＝BF＝FC.∴＝＝＝．∴△ADE∽△ABC．2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA）且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1

7、G为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）图4∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C，∴AE1＝E1E2＝E2C，∴＝＝＝．∴△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？过点D2作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．则四边形D2F2CE2为平行四边形，且△AD1E1≌D2BF2,（ASA）∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．由（1）知，D1E1＝D2E2，AE1＝AE2，　　　　　　　　　　　　　　　图５∴D1E1＝BC，AE1＝AC．∴＝＝＝．　

8、　∴△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC相似．图6（三）［归纳