2011年新概念微积分讲座

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1、新概念微积分成都理工大学曹金文一、微积分学的发展二、为什么要创新微积分？三、国内外研究现状四、新概念微积分？一、微积分学的发展十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹创立了微积分。他写了4部微积分的专著，其中《曲线求积术》最后写成于1693年。但最早出版是在1704年．为何前面三部迟迟没有出版？因为微积分的灵魂就是“无穷小”。当时这个“无穷小”在逻辑上是不严密的，并且引发了第二次数学危机。直到十九世纪初，柯西在实数理论的基础上，建立了极限、收敛等概念学生学习和掌握都倍感困难。数学家拉格朗日试图改变：他想不用极限或无穷小等概念

2、来建立微积分学？为此他写成《解析函数论》一书．此书的副标题是："不用无穷小，或正在消失的量或极限与流数等概念，他用的是泰勒展开式的方法，认为这样就可以克服极限理论的困难，可是无穷级数的收敛问题，仍然无法回避极限．一直困扰数学家的问题：微积分理论必须以极限为基础？张景中院士指出：普遍承认的不一定是真理没有得到证明的就可以质疑二、为什么要创新微积分？1.微积分的定义、推理和应用，依赖实数理论、极限理论、无穷小概念，而学生学习和掌握上述理论倍感困难。2.例子命题：“导数不变号，则函数单调”——要先学习拉格朗日中值定理——

3、而拉格朗日中值定理是借助于罗尔定理推出来的—罗尔定理的证明需用到闭区间上连续函数的最值定理—需引进连续函数的概念。连续函数是用极限定义的。—需建立极限理论。在有理数集中极限运算是不封闭的——需建立实数理论并研究之问题的提出：1.是否可以不学习实数理论、不用极限语言而把微积分简单化，使学生们都能容易理解，2、保证学生的论证数学思想得以培养？三、国内外研究现状如何使微积分入门教学变得容易,是近年来国际数学教育领域研究的热点和难题.1989年，张景中院士在【从数学教育到教育数学】中曾提出一种新方法：“非ε语言的极限概念”

4、,用一种形式上更简易，但逻辑上等价于极限概念表述方法来代替“ε-δ语言的极限概念”,以克服微积分入门教学的难点.近年来,张景中院士、林群院士致力于新概念微积分研究2005年11月在上海召开的首届全国“大学数学课程报告论坛”上,林群院士进一步阐述了新概念微积分的思想.2006年5月12日～14日林群院士在西安举行的“中国高等教育学会教育数学专业委员会学术研讨会”上,他又作了题为“新概念微积分”的大会报告,为新概念微积分的指出了一条新路。2006年12月，张景中院士.论文《微积分学的初等化》在华中师范大学学报发表。从此

5、，新概念微积分的研究成为热点第四届全国大学数学论坛大会报告应邀参加2011年全国教育数学年会数学院士张景中、全国教学名师李尚志四、什么是新概念微积分？1，微分——本质是用不等式与绝对值来刻划的不等式、绝对值——初等数学的知识，这就为新概念微分学提供了可能。为简单记，上式改写为刻划的是下面这样的事实：问题：如何将此事实用其它的数学语言来刻划呢？如何初等化？分析、思考：定义2若函数在区间内的任意闭区间上都强可导，则称该函数在区间内是强可导的.根据新概念微积分中导数的定义，我们作如下思考：右导数：设函数F(x)在[a,b

6、]上有定义。如果有一个在[a,b]上有定义的函数f+和正数M，在[a,b]上的任意的x0和x0+h（h为任意的正实数），有下列不等式成立，则称为的右导数。同理，可以定义左导数。左右导数根据左右导数定义，我们可以得出以下结论定理：若函数F(x)在x0的某领域内U(x0)有定义，则F(x)在点x0处存在的充要条件是函数F的左右导数存在且相等。即：命题1(强可导时求导的线性运算)若F和G都在[a,b]上强可导,f(x)和g(x)分别是F(x)和G(x)的导数,则(Ⅰ)对任意常数c,cF(x)强可导,且其导数是cf(x);

7、(Ⅱ)F(x)+G(x)强可导,且其导数为f(x)+g(x);(Ⅲ)F(cx+d)强可导,且其导数是cf(cx+d).由定义,(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)均属显然,证明略.命题2(导数不变号则函数单调)若F在[a,b]上强可导,其导数f(x)在[a,b]上恒非负,则F在[a,b]上单调不减。证明用反证法.设在[a,b]上有[u,u+h](h>0),使得F(u+h)-F(u)=d<0.将区间[u,u+h]等分为n段,其中必有一段[v,v+h/n],使得，F(v+h/n)-F(v)≤d/n<0.因为f(v)≥0,由定义1的(

8、1)得

9、d/n

10、≤

11、F(v+h/n)-F(v)-f(v)h/n

12、≤M(h/n)2即

13、nd

14、≤Mh2但当取n>

15、Mh2/d

16、时，就与上式矛盾.这证明了F在[a,b]上单调不减,证毕命题6(导数相等的函数仅相差一常数)若F和G都在[a,b]上强可导,F(x)和G(x)的导数都是f(x),则(F(x)-G(x))在[a,b]上为常数.2、积分定积分的公理化定义求已